北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

方程式 $A{e}^x-x=0$ は、$e^x>0$ より $A=x{e}^{-x}$ と同値である。そこで $h(x)=x{e}^{-x}$ とおく。すると $h^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}(1-x)$ であるから、$h(x)$ は $0<x<1$ で増加し、$1<x<3$ で減少する。最大値は $h(1)={\displaystyle \frac{1}{e}}$ である。また$$\underset{x\to 0+}{\lim }h(x)=0,h(3)={\displaystyle \frac{3}{e^3}}$$である。

したがって、$0<x<3$ に異なる2つの解をもつためには、水平線 $y=A$ が増加部分と減少部分の両方で1回ずつ交わる必要がある。$x=3$ は範囲に含まれないので、条件は ${\displaystyle \frac{3}{e^3}}<A<{\displaystyle \frac{1}{e}}$ である。

(2)

原始関数は$${\displaystyle \frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^t\cos tdt}& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2}}\right]}_0^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$I={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}f(t)\cos tdt$$とおく。与えられた式は $\log f(x)=x-3+2I$ である。右辺は $x$ に関して $x$ と定数の和なので、ある正の定数 $C$ を用いて $f(x)=C{e}^x$ と書ける。このとき $f(0)=C$ であるから、条件 $f(0)<1$ は $0<C<1$ である。

(2) より$$I=C{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^t\cos tdt=C\cdot {\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{2}}$$である。これを $\log f(x)=x-3+2I$ の定数部分に戻すと $$\log C=-3+C(e^{\pi \mathrm{/}2}-1)$$ が必要十分条件である。

ここで $X=C(e^{\pi \mathrm{/}2}-1)$ とおくと、$C=X\mathrm{/}(e^{\pi \mathrm{/}2}-1)$ であり、上式は $$\log X-\log (e^{\pi \mathrm{/}2}-1)=-3+X$$ となる。整理すると $$X{e}^{-X}={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{e^3}}$$ である。

(1) を使うために $$A={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{e^3}}$$ とおく。$\pi \mathrm{/}2>3\mathrm{/}2$ かつ $e>2.7$ より $e^{\pi \mathrm{/}2}>e^{3\mathrm{/}2}>4$ であるから $e^{\pi \mathrm{/}2}-1>3$ である。また $\pi \mathrm{/}2<2$ より $e^{\pi \mathrm{/}2}<e^2$ なので $e^{\pi \mathrm{/}2}-1<e^2$ である。したがって $${\displaystyle \frac{3}{e^3}}<{\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{e^3}}<{\displaystyle \frac{1}{e}}$$ である。

よって(1)より、方程式 $X{e}^{-X}=A$ は $0<X<3$ に異なる2つの解をもつ。さらに $e^{\pi \mathrm{/}2}-1>3$ なので、各解について $$0<C={\displaystyle \frac{X}{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}}<1$$ である。したがって条件を満たす関数 $f(x)=C{e}^x$ が2つ存在する。

(1) は $x{e}^{-x}$ のグラフを用いる。(2)は部分積分を2回行って同じ定積分へ戻す。(3)は $f(x)=C{e}^x$ を代入した後，$C$ の凹関数の零点を調べ，2つの解がとも $0<C<1$ にあることを直接示す。

(1) $$h(x)=x{e}^{-x}$$とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}(1-x)\mathrm{.}$$したがって $h$ は $(0,1)$ で増加，$(1,3)$ で減少し，$$h(0+)=0,h(1)={\displaystyle \frac{1}{e}},h(3)={\displaystyle \frac{3}{e^3}}\mathrm{.}$$$x=3$ は区間に含まれないので，異なる2解をもつ条件は$${\displaystyle \frac{3}{e^3}}<A<{\displaystyle \frac{1}{e}}\mathrm{.}$$(2)$$I={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^t\cos tdt,J={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^t\sin tdt$$とおく。部分積分により$$I=-1+J,J=e^{\pi \mathrm{/}2}-I\mathrm{.}$$よって$$I={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{2}}\mathrm{.}$$(3)

与式から $f(x)=C{e}^x$ $(C>0)$ である。(2)を用いると必要十分条件は$$\log C=-3+C(e^{\pi \mathrm{/}2}-1)\mathrm{.}$$$K=e^{\pi \mathrm{/}2}-1$ とおき，$$\varphi (C)=\log C-KC+3$$とする。${\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(C)=-1\mathrm{/}{C}^2<0$ で，最大点は $C=1\mathrm{/}K$ である。また$$3<K<e^2$$だから$$\varphi (1\mathrm{/}K)=2-\log K>0.$$一方，$$\underset{C\to 0+}{\lim }\varphi (C)=-\mathrm{\infty },\varphi (1)=3-K<0.$$したがって中間値の定理と狭義凹性により，$(0,1\mathrm{/}K)$ と $(1\mathrm{/}K,1)$ にそれぞれ1つずつ零点がある。この2つの $C$ に対する$$f(x)=C{e}^x$$が条件を満たす2関数である。