北海道大学 2001年度 後期日程理系（後期）数学 第3問

(1)

成分を計算する。$$A=\left(\begin{array}{cc}9& -2\\ -2& 6\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}x& z\\ z& y\end{array}\right)$$であるから$$AX=\left(\begin{array}{cc}9x-2z& 9z-2y\\ -2x+6z& -2z+6y\end{array}\right)$$であり$$XA=\left(\begin{array}{cc}9x-2z& -2x+6z\\ 9z-2y& -2z+6y\end{array}\right)$$である。したがって$$AX-XA=\left(\begin{array}{cc}0& 2x-2y+3z\\ -2x+2y-3z& 0\end{array}\right)$$となる。 $AX=XA$ であるから $2x-2y+3z=0$ である。よって $$z={\displaystyle \frac{2(y-x)}{3}}$$ である。

(2)

指定された形で表せるかを調べるため$$X=p\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$$とおく。右辺を成分で書くと$$\left(\begin{array}{cc}p+4q& 2p-2q\\ 2p-2q& 4p+q\end{array}\right)$$である。したがって $x=p+4q,y=4p+q$ となるように $p,q$ を決めればよい。

この連立方程式を解くと $$p={\displaystyle \frac{-x+4y}{15}},q={\displaystyle \frac{4x-y}{15}}$$ である。このとき非対角成分は$$2p-2q=2({\displaystyle \frac{-x+4y}{15}}-{\displaystyle \frac{4x-y}{15}})={\displaystyle \frac{2(y-x)}{3}}$$である。これは(1)で求めた $z$ と一致する。

よって$$X=p\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$$と表せる。ただし $$p={\displaystyle \frac{-x+4y}{15}},q={\displaystyle \frac{4x-y}{15}}$$ である。

行列 $A$ が互いに直交する2方向をそれぞれ保つことを確認する。
$AX=XA$ なら $X$ もその2方向を保つので、各方向への射影行列の
1次結合として $X$ を表す。

(1)

成分を比較すると、$AX=XA$ の右上成分から$$9z-2y=-2x+6z\mathrm{.}$$したがって$$z={\displaystyle \frac{2(y-x)}{3}}\mathrm{.}$$(2)$$v=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),w=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$$とおくと、$v,w$ は互いに直交し$$Av=5v,Aw=10w$$である。$AX=XA$ より$$A(Xv)=X(Av)=5Xv\mathrm{.}$$$A$ の固有値5の方向は $v$ の方向だけなので、ある実数
$\alpha$ により $Xv=\alpha v$ と書ける。同様に
$Xw=\beta w$ と書ける。

一方、$$v{v}^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right),w{w}^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }v{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=5$ だから$$X={\displaystyle \frac{\alpha }{5}}v{v}^{\mathsf{T}}+{\displaystyle \frac{\beta }{5}}w{w}^{\mathsf{T}}\mathrm{.}$$よって $p=\alpha \mathrm{/}5,q=\beta \mathrm{/}5$ とおけば、指定された形で表せる。
成分表示では$$p={\displaystyle \frac{-x+4y}{15}},q={\displaystyle \frac{4x-y}{15}}$$であり、非対角成分も$$2p-2q={\displaystyle \frac{2(y-x)}{3}}=z$$と一致する。