北海道大学 2001年度 後期日程理系（後期）数学 第2問

(1) $h(x)=e^x-e^{-x}-2x$ とおく。すると $h^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+e^{-x}-2$ である。相加平均・相乗平均より $e^x+e^{-x}\geqq 2$ であり、等号は $e^x=e^{-x}$、すなわち $x=0$ のときだけである。よって $h^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ であり、$h$ は増加関数である。さらに $x\mathrm{\ne }0$ を含む区間では導関数が正になる部分をもつので、$h$ は実質的に一方向にしか進まない。 $h(0)=0$ であるから、$x>0$ では $h(x)>0$、$x<0$ では $h(x)<0$ となる。したがって $e^x-e^{-x}=2x$ の解は $x=0$ に限られる。

(2)

まず $p=0$ のとき$${\int }_{1\mathrm{/}e}^e{t}^{p-1}dt={\int }_{1\mathrm{/}e}^e{\displaystyle \frac{1}{t}}dt={[\log t]}_{1\mathrm{/}e}^e=2$$である。

次に $p\mathrm{\ne }0$ とする。このとき$${\int }_{1\mathrm{/}e}^e{t}^{p-1}dt={\left[{\displaystyle \frac{t^p}{p}}\right]}_{1\mathrm{/}e}^e={\displaystyle \frac{e^p-e^{-p}}{p}}$$である。これが2に等しいなら $e^p-e^{-p}=2p$ が成り立つ。(1)よりこの方程式の解は $p=0$ に限られるが、これは $p\mathrm{\ne }0$ に反する。

したがって条件をみたすのは $p=0$ の場合に限る。

指数関数の差を微分して得る非負関数を0から積分し、
方程式の左辺と右辺の大小を $x$ の符号ごとに決める。
後半は積分を計算して同じ方程式へ帰着する。

(1)

相加相乗平均より$$e^t+e^{-t}-2\geqq 0$$で、等号は $t=0$ のときに限る。したがって$$e^x-e^{-x}-2x={\int }_0^x\{e^t+e^{-t}-2\}dt\mathrm{.}$$$x>0$ なら右辺は正、$x<0$ なら積分の向きが逆なので負である。
$x=0$ では0になる。よって$$e^x-e^{-x}=2x$$の解は $x=0$ に限られる。

(2)

$p=0$ のとき$${\int }_{1\mathrm{/}e}^e{\displaystyle \frac{1}{t}}dt=2$$である。$p\mathrm{\ne }0$ なら$${\int }_{1\mathrm{/}e}^e{t}^{p-1}dt={\displaystyle \frac{e^p-e^{-p}}{p}}\mathrm{.}$$これが2なら $e^p-e^{-p}=2p$ であるが、(1)よりその解は
$p=0$ だけであり、$p\mathrm{\ne }0$ に矛盾する。
したがって等式が成り立つのは $p=0$ の場合に限る。