北海道大学 2005年度 前期日程理系数学 第2問

(1) $$A=\cos x+\cos y,B=\sin x-\sin y$$ とおく。漸化式は $$a_{n+1}=A{a}_n+B{b}_n,b_{n+1}=-B{a}_n+A{b}_n$$ と書ける。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =a_{n+1}^2+b_{n+1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(A{a}_n+B{b}_n{)}^2+(-B{a}_n+A{b}_n{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(A^2+B^2)a_n^2+(A^2+B^2)b_n^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(A^2+B^2)c_n}\end{array}$$である。途中で $2AB{a}_n{b}_n$ と $-2AB{a}_n{b}_n$ が打ち消し合う。

次に倍率を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^2+B^2}& {\displaystyle =(\cos x+\cos y{)}^2+(\sin x-\sin y{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y+2\cos x\cos y-2\sin x\sin y}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2\cos (x+y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}}\end{array}$$である。また $(a_1,b_1)=(1,0)$ より $c_1=1$ である。よって $$c_n={\left(4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)}^{n-1}$$ である。

(2)

(1) より、$c_n$ は公比 $$q=4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}$$ の等比数列である。常に $q\geqq 0$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=0$$となる条件は $0\leqq q<1$ すなわち $$4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}<1$$ である。

与えられた範囲では $-\pi \leqq x+y\leqq \pi$ であるから $$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ となり、この範囲では $\cos ((x+y)\mathrm{/}2)\geqq 0$ である。したがって $$4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}<1$$ は $$\cos {\displaystyle \frac{x+y}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ と同値である。$$-\pi \mathrm{/}2\leqq (x+y)\mathrm{/}2\leqq \pi \mathrm{/}2$$ でこれが成り立つのは $$\mid {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\mid >{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ のときである。よって求める範囲は $$x+y>{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\text{または}x+y<-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ を満たす部分である。

ただし、もとの領域は$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。したがって図示すると、この正方形の中で、境界直線 $$x+y={\displaystyle \frac{2\pi }{3}},x+y=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ を含まない、右上と左下の2つの三角形領域である。

境界の確認$$x+y=\pm {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ では公比が1となり $c_n=1$ のままなので、境界は含まれない。角の2点 $$x=y=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ では公比0となり、条件を満たす。

実数2成分を複素数 $z_n=a_n+i{b}_n$ にまとめる。漸化式を1つの複素数倍と見て絶対値の2乗を取り、等比数列と領域条件を導く。

(1) $$A=\cos x+\cos y,B=\sin x-\sin y,z_n=a_n+i{b}_n$$とおく。漸化式から$$z_{n+1}=(A-iB)z_n$$である。したがって$$\mathrm{\mid }{z}_{n+1}{\mathrm{\mid }}^2=(A^2+B^2)\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^2+B^2}& {\displaystyle =(\cos x+\cos y{)}^2+(\sin x-\sin y{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2\cos (x+y)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$\mathrm{\mid }{z}_1{\mathrm{\mid }}^2=1$ だから$$c_n=\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^2={\left(4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$(2)

極限が0となる必要十分条件は$$4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x+y}{2}}<1.$$与えられた範囲では$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq {\displaystyle \frac{x+y}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$なので、これは$$\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }>{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$と同値である。したがって、正方形$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x,y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$のうち$$x+y>{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\text{または}x+y<-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$となる右上・左下の開いた三角形領域である。