北海道大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

もし $ad-bc\mathrm{\ne }0$ であると仮定する。このとき行列 $A$ は逆行列をもつ。すると $A^n$ も逆行列をもち、その逆行列は $(A^{-1}{)}^n$ である。

しかし問題の仮定では $A^n=O$ である。零行列 $O$ は逆行列をもたないので、これは矛盾である。したがって $ad-bc=0$ である。

(2)

まず2次行列の恒等式を直接確認する。$I$ を単位行列とすると、$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O$ が成り立つ。実際、$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)$$であり、$$(a+d)A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& ab+bd\\ ac+cd& ad+d^2\end{array}\right)$$だから、差を取ると$$A^2-(a+d)A=\left(\begin{array}{cc}bc-ad& 0\\ 0& bc-ad\end{array}\right)=-(ad-bc)I$$である。

(1) より $ad-bc=0$ であるから$$A^2=(a+d)A\text{(1)}$$を得る。

ここで $A=O$ なら、ただちに $A^2=O$ である。以下、$A\mathrm{\ne }O$ とする。

このとき $n=1$ なら仮定 $A^n=O$ から $A=O$ となって矛盾するので、$n\geqq 2$ である。

(1) から帰納的に $$A^m=(a+d{)}^{m-1}A(m=1,2,3,\dots )$$ が成り立つ。実際、$m=1$ では明らかであり、$m$ で成り立つなら $$A^{m+1}=A^{m}A=(a+d{)}^{m-1}{A}^2=(a+d{)}^{m}A$$ である。

特に仮定の自然数 $n$ について $A^n=(a+d{)}^{n-1}A$ である。$A^n=O$ かつ $A\mathrm{\ne }O$ なので、$(a+d{)}^{n-1}=0$ でなければならない。したがって $a+d=0$ である。

これを(1)に代入すると $A^2=(a+d)A=O$ である。

【像は一段で零空間へ入る】

(1) は行列式の積から示す。(2)では、行列式0の非零な2次行列は二つの列が同じ非零列ベクトルの定数倍として表せることを使い、$A=\mathit{u}(\alpha \beta )$ と因数分解する。すると $A^2=\lambda A$ が直ちに得られる。

(1) $$0=\det O=\det (A^n)=(\det A{)}^n\mathrm{.}$$したがって$$\det A=ad-bc=0.$$(2)
$A=O$ なら明らかである。以下 $A\mathrm{\ne }O$ とする。このとき $n=1$ なら仮定から $A=O$ となって矛盾するので、必ず $n\geqq 2$ である。(1)より二つの列は一次従属だから、ある非零列ベクトル $\mathit{u}$ と実数 $\alpha ,\beta$ を用いて$$A=\mathit{u}\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right)$$と書ける。$$\lambda =\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right)\mathit{u}$$と置くと$$A^2=\mathit{u}\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right)\mathit{u}\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right)=\lambda A\mathrm{.}$$したがって帰納的に$$A^m={\lambda }^{m-1}A\mathrm{.}$$$A^n=O$ かつ $A\mathrm{\ne }O$ なので $\lambda =0$ でなければならない。よって$$A^2=\lambda A=O$$である。