北海道大学 2001年度 前期日程理系数学 第2問

まず $x=0$ では $\cos 0+c\cdot 0^2=1$ であり、どの $c$ でも等号が成り立つ。したがって $x\mathrm{\ne }0$ を考える。

条件は $\cos 2x+c{x}^2\geqq 1$ すなわち $$c\geqq {\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{x^2}}$$ である。ここで $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ だから $${\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{x^2}}=2{\left({\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\right)}^2$$ である。$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ より $2{\left({\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\right)}^2\leqq 2$ であるから、$c\geqq 2$ ならすべての実数 $x$ について不等式は成り立つ。

逆に $c<2$ とする。高校数学の基本極限 $$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$$ より$$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }2{\left({\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\right)}^2=2$$である。したがって、$0$ に十分近い $x\mathrm{\ne }0$ で $${\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{x^2}}>c$$ となるものが存在し、このとき不等式は成り立たない。

以上より求める範囲は $c\geqq 2$ である。

左辺から右辺を引いた関数を考える。全実数で非負なら
$x=0$ が極小点なので、2階導関数から必要条件を得る。
十分性は基本不等式 $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ で示す。

$$F(x)=\cos 2x+c{x}^2-1$$とおく。条件が成り立つなら $F(x)\geqq 0$ かつ $F(0)=0$ なので、
$x=0$ は $F$ の極小点である。したがって必要条件として$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)\geqq 0$$を得る。一方、$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4\cos 2x+2c$$だから$$-4+2c\geqq 0,c\geqq 2$$が必要である。

逆に $c\geqq 2$ とする。恒等式と
$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x)}& {\displaystyle =c{x}^2-\{1-\cos 2x\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =c{x}^2-2{\sin }^{2}x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 2x^2-2{\sin }^{2}x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 0.}\end{array}$$よって条件はすべての実数 $x$ で成り立つ。以上から$$c\geqq 2$$である。