北海道大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
まず導関数を求める。 $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin x+x\cos x+\sin x=x\cos x+2\sin x$$ である。

区間 $$2n\pi \leqq x\leqq 2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ では $$\sin x\geqq 0,\cos x\geqq 0,x>0$$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x\cos x+2\sin x\geqq 0$$ であり、しかも区間内で常に0になるわけではないので、$f(x)$ はこの区間で単調増加する。

端の値を調べると $$f(2n\pi )=2n\pi \sin 2n\pi -\cos 2n\pi =-1$$ であり、$$f(2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=(2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\cdot 1-0=2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}>0$$である。連続関数 $f(x)$ は端で負から正へ変わり、しかも単調増加であるから、この区間に $f(x)=0$ となる $x$ がただ1つ存在する。

(2)
(1)の解を $$a_n=2n\pi +t_n,0\leqq t_n\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ とおく。端の値は0でないので、実際には $$0<t_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。 $f(a_n)=0$ より $$(2n\pi +t_n)\sin t_n-\cos t_n=0$$ である。$0<t_n<\pi \mathrm{/}2$ では $\cos t_n>0$ なので、両辺を $\cos t_n$ で割って $(2n\pi +t_n)\tan t_n=1$ すなわち $$\tan t_n={\displaystyle \frac{1}{2n\pi +t_n}}$$ を得る。 $0<t_n<\pi \mathrm{/}2$ では $t_n<\tan t_n$ であるから $$0<t_n<{\displaystyle \frac{1}{2n\pi +t_n}}<{\displaystyle \frac{1}{2n\pi }}$$ である。右端は $n\to \mathrm{\infty }$ で0に近づくので、はさみうちにより $t_n\to 0$ である。したがって $a_n-2n\pi =t_n\to 0$ であり、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-2n\pi )=0$$が示された。

周期部分を $t=x-2n\pi$ と置き、零点方程式を単調な $(2n\pi +t)\tan t=1$ に直す。一意性と極限が同じ式から従う。

(1) $$x=2n\pi +t,0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$と置く。端点 $t=\pi \mathrm{/}2$ では $f(x)>0$ で、内部では $f(x)=0$ は$$(2n\pi +t)\tan t=1$$と同値である。左辺を $g(t)$ とおくと、$0<t<\pi \mathrm{/}2$ で$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=\tan t+(2n\pi +t){\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}t}}>0.$$また $g(0)=0$、$t\to \pi \mathrm{/}2-0$ で $g(t)\to \mathrm{\infty }$ だから、$g(t)=1$ の解はただ1つ存在する。

(2) $$t_n=a_n-2n\pi$$とおくと $t_n>0$ で$$(2n\pi +t_n)\tan t_n=1.$$$0<t_n<\pi \mathrm{/}2$ では $\tan t_n\geqq t_n$ なので$$1\geqq 2n\pi t_n\mathrm{.}$$したがって$$0<t_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n\pi }}⟶0.$$ゆえに$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-2n\pi )=0.$$