北海道大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $t=\sin x+\cos x$ とおく。合成すると $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$ である。$\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ の値は $-1$ 以上 $1$ 以下をすべてとるので，$$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$$ である。

(2) $$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x$$ より $$\sin x\cos x={\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =a(\sin x+\cos x)-\sin x\cos x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =at-{\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2+at+{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$$である。ただし $t$ の範囲は $$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$$ である。

この二次関数は上に凸で，頂点は $t=a$ である。

まず $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{2}$ のとき，頂点が区間内にあるので最大値は $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2+a^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{a^2+1}{2}}$$ である。この場合 $${\displaystyle \frac{a^2+1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{2+1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であり，最大値は3にならない。

次に $a>\sqrt{2}$ のとき，頂点は区間の右側にあるため，最大値は右端 $t=\sqrt{2}$ でとる。したがって $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2+\sqrt{2}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}=\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ が3に等しい。よって $\sqrt{2}a={\displaystyle \frac{7}{2}}$ となり，$$a={\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{4}}$$ である。これは $a>\sqrt{2}$ を満たす。

同様に $a<-\sqrt{2}$ のとき，最大値は左端 $t=-\sqrt{2}$ でとる。したがって $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2-\sqrt{2}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ が3に等しい。よって $$a=-{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{4}}$$ である。これは $a<-\sqrt{2}$ を満たす。

以上より $${\displaystyle a=\pm {\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{4}}}$$ である。

$x$ の問題を、閉区間 $$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$$ 上の二次関数の最大問題へ移す。