北海道大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$AB=AC=L,\mathrm{\angle }BAC=\theta$$ とおく。また、点 $P$、$Q$ は同じ速さで動くので、ある時刻に $AP=CQ=s$ とおける。このとき $AQ=AC-CQ=L-s$ である。

三角形 $PAQ$ に余弦定理を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =s^2+(L-s{)}^2-2s(L-s)\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =L^2-2L(1+\cos \theta )s+2(1+\cos \theta )s^2\mathrm{.}}\end{array}$$ $0<\theta <\pi$ より $1+\cos \theta >0$ であるから、これは $s$ の2次式として $$s={\displaystyle \frac{L}{2}}$$ のとき最小となる。そのとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}_{\text{min}}^2}& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)}^2-2\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{L^2}{2}}(1-\cos \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$条件より、最も接近したときの $PQ$ は、そのときの $AP=L\mathrm{/}2$ に等しい。したがって $${\displaystyle \frac{L^2}{2}}(1-\cos \theta )={\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)}^2$$ である。$L>0$ より $$1-\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ すなわち $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって $\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$ である。

(2) $$u={\displaystyle \frac{s}{L}}$$ とおく。$AP=s$、$AQ=L-s$ であり、$$\mathrm{\angle }PAQ=\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }$$ だから$${\displaystyle \frac{[\mathrm{△}PAQ]}{[\mathrm{△}ABC]}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}s(L-s)\sin {60}^{\circ }}{{\displaystyle \frac{1}{2}}{L}^2\sin {60}^{\circ }}}=u(1-u)$$である。これが $1\mathrm{/}8$ に等しいので $$u(1-u)={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

また、$\theta ={60}^{\circ }$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{P{Q}^2}{L^2}}}& {\displaystyle =u^2+(1-u{)}^2-2u(1-u)\cos {60}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u^2+(1-u{)}^2-u(1-u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-3u(1-u)\mathrm{.}}\end{array}$$ここに $u(1-u)=1\mathrm{/}8$ を代入すると $${\displaystyle \frac{P{Q}^2}{L^2}}=1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{PQ}{AB}}={\displaystyle \frac{PQ}{L}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{8}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{4}}$$ である。

辺長を1に規格化し、頂点Aを原点、2辺をなす単位ベクトルで表す。距離の2次式と面積比を同じ移動割合で処理する。

(1)

$AB=AC=1$、$\mathrm{\angle }BAC=\theta$ と規格化する。時刻に対応する移動割合を $u$ とすれば$$AP=u,AQ=1-u\mathrm{.}$$余弦定理より$$P{Q}^2=u^2+(1-u{)}^2-2u(1-u)\cos \theta \mathrm{.}$$これは $u=1\mathrm{/}2$ のとき最小で、その値は$${\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{2}}\mathrm{.}$$最接近時の $PQ$ が同時刻の $AP=1\mathrm{/}2$ に等しいから$${\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$よって $\cos \theta =1\mathrm{/}2$、すなわち$$\mathrm{\angle }BAC={60}^{\circ }\mathrm{.}$$(2)

面積比は$${\displaystyle \frac{[PAQ]}{[ABC]}}={\displaystyle \frac{AP\cdot AQ}{AB\cdot AC}}=u(1-u)\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}8$ なので、$\theta ={60}^{\circ }$ を用いた距離式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =u^2+(1-u{)}^2-u(1-u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-3u(1-u)={\displaystyle \frac{5}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{PQ}{AB}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{8}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{4}}\mathrm{.}$$