北海道大学 2004年度 後期日程理系（後期）数学 第4問

(1) $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ とおく。$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ なので $z^2\text{ の偏角は }2\theta ,{\displaystyle \frac{1}{z}}\text{ の偏角は }-\theta$ である。したがって3点は、単位円上の偏角 $\theta ,2\theta ,-\theta$ の点である。

2点以上が一致するのは、これらの偏角の差が $2\pi$ の整数倍になるときである。 $$z=z^2⟺\theta \equiv 2\theta (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ より $\theta =0$ である。また $$z={\displaystyle \frac{1}{z}}⟺2\theta \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ より、$0\leqq \theta \leqq \pi$ では $\theta =0,\pi$ である。さらに $$z^2={\displaystyle \frac{1}{z}}⟺3\theta \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ より、$$\theta =0,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。以上を合わせると $$\theta =0,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi$$ である。

(2)
(1) 以外の場合を考える。3点の座標は $z:(\cos \theta ,\sin \theta ),$ $z^2:(\cos 2\theta ,\sin 2\theta ),$ ${\displaystyle \frac{1}{z}}:(\cos \theta ,-\sin \theta )$ である。点 $z$ と $1\mathrm{/}z$ を結ぶ線分は縦の線分で、その長さは $2\sin \theta$ である。点 $z^2$ から直線 $x=\cos \theta$ までの距離は $\mathrm{\mid }\cos 2\theta -\cos \theta \mathrm{\mid }$ である。したがって三角形の面積 $S$ は $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sin \theta \cdot \mathrm{\mid }\cos 2\theta -\cos \theta \mathrm{\mid }$$ である。

ここで $u=\cos \theta$ とおくと、$$\cos 2\theta -\cos \theta =2u^2-u-1=(u-1)(2u+1)$$ である。$0<\theta <\pi$ では $\sin \theta >0$、また $1-u\geqq 0$ なので、$$S=\sin \theta (1-\cos \theta )\mathrm{\mid }2\cos \theta +1\mathrm{\mid }$$ である。

(3) $u=\cos \theta$ とおく。退化する場合を除けば $-1<u<1$、$u\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。(2) より $$S^2=(1-u^2)(1-u{)}^2(2u+1{)}^2$$ である。$S>0$ の範囲で微分の符号を見るため、対数微分を用いると$${\displaystyle \frac{d}{du}}\log S^2=-{\displaystyle \frac{2u}{1-u^2}}-{\displaystyle \frac{2}{1-u}}+{\displaystyle \frac{4}{2u+1}}$$である。これが $0$ となる条件を整理すると $6u^2+4u-1=0$ である。したがって $$u={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{10}}{6}}$$ である。 $S$ は区間 $(-1,-1\mathrm{/}2)$ と $(-1\mathrm{/}2,1)$ の端で $0$ となり、それぞれの区間内で上の解を1つずつもつ。よって、$S$ が極大値をとるときの $\cos \theta$ は $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{-2-\sqrt{10}}{6}},{\displaystyle \frac{-2+\sqrt{10}}{6}}$$ である。

(4)
(3) の2つの候補で値を比較する。$u=\cos \theta$ として $$S^2=(1-u^2)(1-u{)}^2(2u+1{)}^2$$ に代入すると、$$u={\displaystyle \frac{-2+\sqrt{10}}{6}}$$ のとき $$S^2={\displaystyle \frac{2437+340\sqrt{10}}{2916}}$$ であり、$$u={\displaystyle \frac{-2-\sqrt{10}}{6}}$$ のとき $$S^2={\displaystyle \frac{2437-340\sqrt{10}}{2916}}$$ である。したがって最大値を与えるのは $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{10}-2}{6}}$$ のときである。

このとき $0\leqq \theta \leqq \pi$ なので $\sin \theta \geqq 0$ であり、$$\sin \theta =\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}-2}{6}}\right)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{11+2\sqrt{10}}{18}}}$$である。また最大値は$$S_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{2437+340\sqrt{10}}{2916}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2437+340\sqrt{10}}}{54}}$$である。

したがって、そのときの複素数 $z$ は $$z={\displaystyle \frac{\sqrt{10}-2}{6}}+i\sqrt{{\displaystyle \frac{11+2\sqrt{10}}{18}}}$$ であり、最大値は ${\displaystyle \frac{\sqrt{2437+340\sqrt{10}}}{54}}$ である。

3点の座標を行列式へ入れて面積を三角関数の式にする。$u=\cos \theta$ と置いた後は、面積の2乗を多項式として微分し、退化点で分かれる二つの区間の極大値を比較する。

(1)
3点の偏角は $\theta ,2\theta ,-\theta$ である。差が $2\pi$ の整数倍となる場合を調べると、$$\theta =0,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi$$である。

(2)
3点の座標を三角形の面積の行列式へ入れると、$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \sin 2\theta +\sin \theta -\sin 3\theta \mid \mathrm{.}$$加法定理で整理すれば、$$S=\sin \theta (1-\cos \theta )\mid 2\cos \theta +1\mid$$となる。

(3)
$u=\cos \theta$ とおくと、$$S^2=(1-u^2)(1-u{)}^2(2u+1{)}^2=:G(u)\mathrm{.}$$直接微分して因数分解すると、$$G^{\mathrm{\prime }}(u)=-2(u-1{)}^2(2u+1)(6u^2+4u-1)\mathrm{.}$$退化点 $u=-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},1$ を除いた二つの区間で極大となる候補は$$u={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{10}}{6}}$$である。

(4)
二候補を $G(u)$ へ代入すると、$$G\left({\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{10}}{6}}\right)={\displaystyle \frac{2437\pm 340\sqrt{10}}{2916}}\mathrm{.}$$したがって最大値を与えるのは$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{10}-2}{6}}$$のときである。$0\leqq \theta \leqq \pi$ より正の虚部を選び、$$z={\displaystyle \frac{\sqrt{10}-2}{6}}+i\sqrt{{\displaystyle \frac{11+2\sqrt{10}}{18}}},S_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{2437+340\sqrt{10}}}{54}}$$を得る。