北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
交点の$x$座標は$$x^2=-(x-a{)}^2+b$$を整理すると$$2x^2-2ax+a^2-b=0$$の二つの解である。解と係数の関係から$$x_1+x_2=a,x_1{x}_2=\frac{a^2-b}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x_1-x_2{)}^2}& {\displaystyle =(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2-2(a^2-b)=2b-a^2\mathrm{.}}\end{array}$$$x_1-x_2=2$より，求める式は$$b=\frac{a^2+4}{2}\mathrm{.}$$この$b$を用いると交点の$x$座標は$a\mathrm{/}2+1,a\mathrm{/}2-1$となるから，どの実数$a$に対しても異なる二つの交点が存在する。
(2)　
直線$PQ$の傾きは$$\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=x_1+x_2=a$$なので，その方程式は$$y=ax-x_1{x}_2=1+ax-\frac{a^2}{4}\mathrm{.}$$平方完成すると$$\begin{array}{cccc}& y=x^2+1-\frac{(a-2x{)}^2}{4}\leqq x^2+1.& & \text{(*)}\end{array}$$よって，すべての直線$PQ$は$y\leqq x^2+1$の領域に含まれる。

逆に，この領域内の任意の点$(X,Y)$をとる。
$X^2+1-Y\geqq 0$だから$$a=2X+2\sqrt{X^2+1-Y},b=\frac{a^2+4}{2}$$を選べる。このとき(*)の右辺に$x=X$を代入すると$Y$になり，直線$PQ$は$(X,Y)$を通る。
また(1)より二つの交点の$x$座標の差は2で，元の条件も満たす。
以上から，通過領域は$$y\leqq x^2+1$$である。境界$y=x^2+1$も含む。

中点と半差，判別式による別解と接線の背景。

交点の$x$座標を，中点と半差を用いて$$x_1=m+t,x_2=m-t(t>0)$$とおく。交点の和から$a=2m$，交点の差から$$4t^2=2b-a^2$$である。

(1) 差が2なので$t=1$となり，$b=2m^2+2=(a^2+4)\mathrm{/}2$を得る。

(2) $t=1$のとき，直線$PQ$は$$y=2mx-(m^2-1)\mathrm{.}$$点$(X,Y)$を通る条件を，文字$m$の方程式として書くと$$m^2-2Xm+Y-1=0.$$これを満たす実数$m$が存在する条件は，判別式から$$(-2X{)}^2-4(Y-1)\geqq 0,\text{すなわち}Y\leqq X^2+1$$である。実数$m$が得られれば$a=2m,b=2m^2+2$とすれば元の条件を満たすので，これが通過領域を表す。

境界上の点を通る直線は，境界の接線になる
$y=x^2+1$の$x=m$における接線は$$y=2m(x-m)+(m^2+1)=2mx-m^2+1$$で，直線$PQ$と一致する。平方完成は直線が境界を越えないことを，判別式は指定した点を通る直線が存在することを示している。