北海道大学 2004年度 後期日程理系（後期）数学 第3問

(1)
与えられた媒介変数表示は $$x=r\cos t,y=r\sin t,r=\sqrt{\cos 2t}$$ と見られる。つまり極座標で $r^2=\cos 2t$ と表される曲線である。範囲 $-\pi \mathrm{/}4\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}4$ では $\cos 2t\geqq 0$ である。 $y$ の最大値を求めるため、まず $y^2$ を考える。 $y^2=(\cos 2t){\sin }^{2}t$ である。ここで $u={\sin }^{2}t$ とおくと、$-\pi \mathrm{/}4\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}4$ より $0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。また $\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t=1-2u$ なので、$y^2=(1-2u)u=u-2u^2$ である。この2次式は $u={\displaystyle \frac{1}{4}}$ のとき最大となり、その最大値は $${\displaystyle \frac{1}{4}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。したがって $$y_{\max }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$$ である。

このとき ${\sin }^{2}t=1\mathrm{/}4$ であり、$y$ が最大になるには $\sin t>0$ なので $t>0$ である。したがって $$\sin t={\displaystyle \frac{1}{2}},\cos t={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\cos 2t={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって $$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ である。

(2)
極座標で表された曲線の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\int r^{2}dt$$で求められる。ここでは $r^2=\cos 2t$ だから、曲線で囲まれた図形の面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}4}\cos 2tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{[{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2t]}_{-\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\{1-(-1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$