北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

高さ $y$ における容器の半径を考える。容器は $y=x^2$ を $y$ 軸のまわりに回転してできるので、高さ $y$ では $$x=\sqrt{y}$$ である。したがって、その水平断面は半径 $\sqrt{y}$ の円であり、断面積は $$\pi (\sqrt{y}{)}^2=\pi y$$ である。

水深が $h$ のときの水の体積は$$V={\int }_0^h\pi ydy={\displaystyle \frac{\pi h^2}{2}}$$である。よって $${\displaystyle \frac{dV}{dh}}=\pi h$$ である。

変化率の連鎖を用いると $${\displaystyle \frac{dV}{dt}}={\displaystyle \frac{dV}{dh}}{\displaystyle \frac{dh}{dt}}$$ である。問題文より $$dV\mathrm{/}dt=-\sqrt{h}$$ だから $$-\sqrt{h}=\pi h{\displaystyle \frac{dh}{dt}}$$ となる。排水中は $h>0$ なので、$${\displaystyle \frac{dh}{dt}}=-{\displaystyle \frac{1}{\pi \sqrt{h}}}$$ である。

(2)

容器は最初満水であり、曲線は $0\leqq x\leqq 1$ なので、初めの水深は $h=1$ である。完全に排水されたときは $h=0$ である。

(1) より $${\displaystyle \frac{dh}{dt}}=-{\displaystyle \frac{1}{\pi \sqrt{h}}}$$ だから、$${\displaystyle \frac{dt}{dh}}=-\pi \sqrt{h}$$ である。時間は正になるように、$h=1$ から $h=0$ まで積分して$$T={\int }_1^0(-\pi \sqrt{h})dh=\pi {\int }_0^1\sqrt{h}dh$$である。したがって $$T=\pi {\left[{\displaystyle \frac{2}{3}}{h}^{3\mathrm{/}2}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。

水深 $h$ の回転容器

水深 $h$ を消去し、体積 $V$ だけの微分方程式にする。$V=\pi h^2\mathrm{/}2$ から $h=(2V\mathrm{/}\pi {)}^{1\mathrm{/}2}$ を得て、与えられた排水率を $dV\mathrm{/}dt=-(2V\mathrm{/}\pi {)}^{1\mathrm{/}4}$ と書き、満水時の体積から0まで積分する。

(1)
水深 $h$ のとき$$V={\int }_0^h\pi ydy={\displaystyle \frac{\pi h^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{dV}{dt}}=\pi h{\displaystyle \frac{dh}{dt}}=-\sqrt{h}$$より$${\displaystyle \frac{dh}{dt}}=-{\displaystyle \frac{1}{\pi \sqrt{h}}}\mathrm{.}$$(2)$$h={\left({\displaystyle \frac{2V}{\pi }}\right)}^{1\mathrm{/}2}$$なので$${\displaystyle \frac{dV}{dt}}=-{\left({\displaystyle \frac{2V}{\pi }}\right)}^{1\mathrm{/}4}\mathrm{.}$$満水時は $V=\pi \mathrm{/}2$、排水完了時は $V=0$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^{1\mathrm{/}4}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{V}^{-1\mathrm{/}4}dV}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^{1\mathrm{/}4}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}{\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^{3\mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$