北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
放物線を $y=-x^2+6x=x(6-x)$ と書く。縦の辺は $(a,0)$ と $(a,-a^2+6a)$ を結ぶ線分であるから，その長さは $-a^2+6a=a(6-a)$ である。

この長方形の上辺は水平線 $y=-a^2+6a$ 上にある。この水平線と放物線の交点を求めると $-x^2+6x=-a^2+6a$ すなわち $x^2-6x+a(6-a)=0$ である。左辺は $(x-a)\{x-(6-a)\}=0$ と因数分解できるので，交点の $x$ 座標は $x=a,x=6-a$ である。

いま $0<a<3$ だから $a<6-a$ であり，点 $(a,-a^2+6a)$ はその高さでの左側の交点である。したがって，上辺を図形内に保ったまま長方形を最も広くするとき，横の長さは $(6-a)-a=6-2a$ である。よって $$S(a)=a(6-a)(6-2a)=2a(6-a)(3-a)$$ である。

定義域は $0<a<3$。両端は含まず、極大点が全体の最大点になる。

(2)
(1)より $$S(a)=2a(6-a)(3-a)=2a^3-18a^2+36a$$ である。微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)=6a^2-36a+36=6(a^2-6a+6)$$ であるから，$S^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ となるのは $a=3\pm \sqrt{3}$ である。このうち $0<a<3$ に入るのは $a=3-\sqrt{3}$ だけである。

また $a^2-6a+6=(a-3{)}^2-3$ より，$0<a<3-\sqrt{3}$ では $S^{\mathrm{\prime }}(a)>0$，$3-\sqrt{3}<a<3$ では $S^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ である。したがって $S(a)$ は $a=3-\sqrt{3}$ で最大となる。その最大値は $$S(3-\sqrt{3})=2(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})\sqrt{3}=12\sqrt{3}$$ である。

グラフは $0<a<3$ を定義域とする三次関数 $S=2a(6-a)(3-a)$ のグラフである。$a\to 0+0$，$a\to 3-0$ のとき $S(a)\to 0$ となるが，$a=0,3$ は定義域に含まれない。したがって，端点 $(0,0)$，$(3,0)$ は白丸で表し，その間で増加して $(3-\sqrt{3},12\sqrt{3})$ を通った後，減少して $(3,0)$ に近づく形になる。