北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$f(x)=\mathrm{\mid }(x-\alpha )(x-\beta )\mathrm{\mid }$$ であり，$0<\alpha <\beta <2$ である。

区間 $[0,\alpha ]$ と $[\beta ,2]$ では，$(x-\alpha )(x-\beta )\geqq 0$ なので $f(x)$ は下に凸の二次関数そのものである。下に凸の二次関数は区間の内側で最小側に曲がるため，それぞれの区間の最大値は端点で調べればよい。区間 $[\alpha ,\beta ]$ では $$f(x)=-(x-\alpha )(x-\beta )$$ であり，これは上に凸の放物線なので，最大値は中央 $$x={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$$ でとる。

よって最大値の候補は$$f(0)=\alpha \beta ,f(2)=(2-\alpha )(2-\beta ),f\left({\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\right)={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^2}{4}}$$である。$f(x)=M$ となる $x$ がちょうど3つあるためには，この3つの候補がすべて同じ最大値になればよい。

まず $$\alpha \beta =(2-\alpha )(2-\beta )$$ より $$\alpha \beta =4-2\alpha -2\beta +\alpha \beta$$ であるから $\alpha +\beta =2$ である。

ここで $$d=\beta -\alpha (d>0)$$ とおくと $$\alpha =1-{\displaystyle \frac{d}{2}},\beta =1+{\displaystyle \frac{d}{2}}$$ である。さらに $$\alpha \beta =f(0)=f\left({\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\right)={\displaystyle \frac{d^2}{4}}$$ だから $$(1-{\displaystyle \frac{d}{2}})(1+{\displaystyle \frac{d}{2}})={\displaystyle \frac{d^2}{4}}$$ すなわち $$1-{\displaystyle \frac{d^2}{4}}={\displaystyle \frac{d^2}{4}}$$ である。したがって $d^2=2$ であり，$d>0$ より $d=\sqrt{2}$ である。

以上より$$\alpha =1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},\beta =1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},M={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

最大値をとる3点は $x=0,1,2$。外側の山と中央の山の高さが一致する。

(2)
(1)の値を用いると $$(x-\alpha )(x-\beta )=x^2-2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。また $x=0$ では $f(0)=1\mathrm{/}2$ であり，$f(x)-mx=0$ の解にはならない。したがって $x>0$ として $${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=m$$ の解の個数を調べればよい。

まず $0<x<\alpha$ では $f(x)=x^2-2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ だから $${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=x-2+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$$ である。この関数の導関数は $1-{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}$ であり，$0<x<\alpha <1\mathrm{/}\sqrt{2}$ では負である。よって ${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$ は $\mathrm{\infty }$ から $0$ まで単調に減少する。したがってこの区間には，$m>0$ のとき解が1つあり，$m\leqq 0$ のとき解はない。

次に $\alpha <x<\beta$ では $f(x)=-x^2+2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ だから $${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=-x+2-{\displaystyle \frac{1}{2x}}$$ である。導関数は $-1+{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}$ であるから，$x=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で増加から減少に変わる。このときの最大値は $$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+2-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot (1\mathrm{/}\sqrt{2})}}=2-\sqrt{2}$$ である。また両端 $x=\alpha ,\beta$ では $f(x)=0$ である。したがってこの区間では $0<m<2-\sqrt{2}$ のとき解を2つもつ。

最後に $\beta <x\leqq 2$ では再び $${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=x-2+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$$ である。ここでは $x>\beta >1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なので導関数は正であり，$\beta$ の右側の $0$ から $${\displaystyle \frac{f(2)}{2}}={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ まで単調に増加する。したがってこの区間に解をもたないための条件は $m>{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

異なる3つの解をもつには，左の区間で1つ，中央の区間で2つ，右の区間で0個となればよい。よって条件は $$m>0,0<m<2-\sqrt{2},m>{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ を同時に満たすことであり，結論は ${\displaystyle \frac{1}{4}}<m<2-\sqrt{2}$ である。