北海道大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

点$P$は $$P=(n,3n^2-6n)=(n,3n(n-2))$$ である。したがって，原点$O$と$P$を結ぶ直線の方程式は $y=3(n-2)x$ である。

縦線 $x=k$ 上の上下差が $3k(n-k)$ である。図は $n=4$ の模式図。

(1)

$0\leqq k\leqq n$を満たす整数$k$を固定する。直線$x=k$上で，放物線$C$の$y$座標は $3k^2-6k$ であり，線分$OP$の$y$座標は $3(n-2)k$ である。その差は $$3(n-2)k-(3k^2-6k)=3k(n-k)$$ である。$0\leqq k\leqq n$ではこれは$0$以上であるから，この範囲では線分$OP$が放物線の上側にある。

上下の端点はいずれも格子点であり，境界も含むので，直線$x=k$上で$D$に含まれる格子点の個数は $f(k)=3k(n-k)+1$ である。

(2)

$D$に含まれる格子点の総数は $$\sum _{k=0}^{n}f(k)=\sum _{k=0}^n\{3k(n-k)+1\}$$ である。これを整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=0}^n\{3k(n-k)+1\}}& {\displaystyle =3(n\sum _{k=0}^{n}k-\sum _{k=0}^n{k}^2)+(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(n\cdot {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}-{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}})+(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n+1)(n-1)}{2}}+n+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)\{{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}+1\}}\end{array}$$である。よって総数は $(n+1)\{{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}+1\}$ である。

(3)

$f(k)=3k(n-k)+1$なので，$f(k)$が最大になるのは$k(n-k)$が最大になるときである。ここで $$k(n-k)=-{(k-{\displaystyle \frac{n}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{n^2}{4}}$$ である。したがって，整数$k$として$n\mathrm{/}2$に最も近い値を選べばよい。

$n$が偶数のときは $$k={\displaystyle \frac{n}{2}}$$ で最大となる。$n$が奇数のときは$n\mathrm{/}2$をはさむ二つの整数である $$k={\displaystyle \frac{n-1}{2}},{\displaystyle \frac{n+1}{2}}$$ で最大となる。