北大 2014年度理系（後期）数学第1問｜問題・解答・解説

方針

条件より $f (x)$ は相異なる整数根を用いて $(x - r_{1}) \dots (x - r_{n})$ と表せる。定数項は $(- 1)^{n} r_{1} \dots r_{n} = p$ であり、 $p$ が素数であることから、根の絶対値は1つだけが $p$ 、残りはすべて1に限られる。相異なる整数根なので、絶対値1の根は $1$ と $- 1$ の高々2個しか使えない。あとは $p$ または $- p$ と、 $1, - 1$ を組み合わせ、符号条件 $f (0) = p$ を満たすものだけを列挙して確認する。

解答

$f (x) = 0$ の相異なる整数解を $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ とする。 $x^{n}$ の係数が1であるから、 $f (x)$ は $f (x) = (x - r_{1}) (x - r_{2}) \dots (x - r_{n})$ と表せる。したがって $f (0) = (- r_{1}) (- r_{2}) \dots (- r_{n}) = (- 1)^{n} r_{1} r_{2} \dots r_{n}$ である。条件より $(- 1)^{n} r_{1} r_{2} \dots r_{n} = p$ である。

ここで $p$ は素数である。また $f (0) = p \neq 0$ なので、どの根も0ではない。したがって、整数 $r_{i}$ の絶対値の積は $∣ r_{1} r_{2} \dots r_{n} ∣ = p$ である。よって根のうち1つだけが絶対値 $p$ をもち、残りの根はすべて絶対値1でなければならない。

絶対値1の整数は $1, - 1$ だけである。さらに根は相異なるので、 $1$ も $- 1$ もそれぞれ高々1回しか使えない。したがって、根の集合は ${p} または {- p}$ に、必要に応じて $1, - 1$ を加えたものに限られる。よって $n ≦ 3$ である。

以下、符号条件 $f (0) = p$ を満たすものを列挙する。

1次の場合。
根が $p$ のときは $f (x) = x - p$ であり、 $f (0) = - p$ なので不適である。根が $- p$ のときは $f (x) = x + p$ であり、 $f (0) = p$ なので適する。

2次の場合。
根は、絶対値 $p$ の根1つと、 $1$ または $- 1$ のどちらかである。符号を調べると、適するものは ${1, p}$ と ${- 1, - p}$ である。実際、これらから $(x - 1) (x - p), (x + 1) (x + p)$ が得られ、どちらも定数項は $p$ である。他の組合せでは定数項が $- p$ になる。

3次の場合。
根は、絶対値 $p$ の根1つと、 $1, - 1$ の両方である。根を $p, 1, - 1$ とすると $f (x) = (x - p) (x - 1) (x + 1)$ であり、定数項は $(- p) (- 1) (1) = p$ なので適する。一方、根を $- p, 1, - 1$ とすると定数項は $- p$ になり不適である。

以上より、求める多項式は $x + p$ $(x - 1) (x - p)$ $(x + 1) (x + p)$ $(x - p) (x - 1) (x + 1)$ である。これらはいずれも整数係数のモニック多項式で、定数項が $p$ であり、相異なる整数解を持つので条件をすべて満たす。

総評

難度6、計算量4。目安時間は18分。素数の定数項が整数根の積を強く制限することを使う問題である。最初に $f (x) = (x - r_{1}) \dots (x - r_{n})$ と置き、 $(- 1)^{n} r_{1} \dots r_{n} = p$ を書けるかが入口である。根の絶対値は $p$ が1つ、残りは1だけという判断のあと、相異なる根という条件から $1, - 1$ を重複使用できない点に注意する。列挙では符号条件で半分が落ちるため、最後に各候補の定数項を確認すると漏れを防げる。

出典: 北海道大学 2014年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

方針

解答

総評

北海道大学 2014年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第1問