北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

解と係数の関係より $$\alpha +\beta =-b,\alpha \beta =c$$ である。ここで $c\mathrm{\ne }0$ だから $\alpha \beta \mathrm{\ne }0$ である。もし $\alpha =0$ または $\beta =0$ なら積 $\alpha \beta$ は0になってしまうので矛盾する。したがって $\alpha ,\beta \text{ はともに }0\text{ でない}$ である。

(2)

まず $${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=r$$ の場合を考える。(1)より $\beta \mathrm{\ne }0$ なのでこの比は定義される。また $\alpha \mathrm{\ne }0$ でもあるから $r\mathrm{\ne }0$ である。このとき $\alpha =r\beta$ である。積の関係から $c=\alpha \beta =r{\beta }^2$ なので $${\beta }^2={\displaystyle \frac{c}{r}}$$ である。

一方，和の関係から $$-b=\alpha +\beta =r\beta +\beta =(r+1)\beta$$ である。両辺を2乗して $b^2=(r+1{)}^2{\beta }^2$ となる。ここに $${\beta }^2={\displaystyle \frac{c}{r}}$$ を代入して $$b^2={\displaystyle \frac{c(r+1{)}^2}{r}}$$ を得る。 $${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}=r$$ の場合も，同じ議論で $\beta =r\alpha$ と置けば，やはり $$b^2={\displaystyle \frac{c(r+1{)}^2}{r}}$$ となる。したがって求める式は $${\displaystyle b^2={\displaystyle \frac{c(r+1{)}^2}{r}}}$$ である。

和・積・比の3つを対称式へ集めると、どちらの比が $r$ でも同じ式になる。

$\alpha \mathrm{/}\beta =r$ と $\beta \mathrm{/}\alpha =r$ のどちらの場合でも、2つの比は $r$ と $1\mathrm{/}r$ になる。$(\alpha +\beta {)}^2\mathrm{/}(\alpha \beta )$ を展開すれば、2場合を一度に処理できる。

(1)

解と係数の関係より$$\alpha \beta =c\mathrm{\ne }0$$である。したがって $\alpha$ と $\beta$ のどちらも0ではない。

(2)

(1) より2つの比は定義される。仮定のどちらの場合でも$$\{{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }},{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\}=\{r,{\displaystyle \frac{1}{r}}\}$$であり、特に $r\mathrm{\ne }0$ である。そこで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{b^2}{c}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\alpha +\beta {)}^2}{\alpha \beta }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}+2+{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r+2+{\displaystyle \frac{1}{r}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(r+1{)}^2}{r}}}\end{array}$$となる。よって$$b^2={\displaystyle \frac{c(r+1{)}^2}{r}}$$である。