北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
4回の出目は順序を区別すると全部で $6^4$ 通りあり，いずれも同じ確率で起こる。

出る目の最小値が1でないのは，4回とも $2,3,4,5,6$ のいずれかが出る場合である。このような出方は $5^4$ 通りである。したがって，最小値が1である出方は $6^4-5^4$ 通りであり，求める確率は$$1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^4={\displaystyle \frac{6^4-5^4}{6^4}}={\displaystyle \frac{1296-625}{1296}}={\displaystyle \frac{671}{1296}}$$である。

(2)
最小値が1で，かつ最大値が6であるためには，4回の出目の中に1が少なくとも1回，6が少なくとも1回含まれればよい。

全体 $6^4$ 通りから，1が一度も出ない場合と6が一度も出ない場合を除く。1が一度も出ない出方は $5^4$ 通り，6が一度も出ない出方も，選べる目が $1,2,3,4,5$ の5種類なので $5^4$ 通りである。ただし，1も6も一度も出ない出方，すなわち $2,3,4,5$ だけが出る場合を2回除いているので，これを戻す。この出方は $4^4$ 通りである。

したがって条件を満たす出方は $6^4-2\cdot 5^4+4^4$ 通りであり，確率は$${\displaystyle \frac{6^4-2\cdot 5^4+4^4}{6^4}}={\displaystyle \frac{1296-1250+256}{1296}}={\displaystyle \frac{302}{1296}}={\displaystyle \frac{151}{648}}$$である。

1が出る位置を先に選び、残りの位置に許される目を数える。(2)では1の位置を固定した後、残りに6が少なくとも1回現れるように数える。包除原理の式を使わず、出現位置の選択として同じ302通りを確認する。

(1)

1が現れる回数を $r$ とする。最小値が1であるための条件は $1\leqq r\leqq 4$ である。1が出る $r$ 個の位置を選び、残りには $2,3,4,5,6$ の5通りを入れられるから、出方の総数は$$\sum _{r=1}^4{}_4{\mathrm{C}}_r{5}^{4-r}=(5+1{)}^4-5^4=6^4-5^4=671$$である。したがって確率は$${\displaystyle \frac{671}{6^4}}={\displaystyle \frac{671}{1296}}$$である。

(2)

まず1が出る位置の個数を $r$ として固定する。残る $4-r$ 箇所には $2,3,4,5,6$ を入れられるが、その中に6が少なくとも1回必要である。したがって、$r=1,2,3$ のそれぞれについて出方は$${}_4{\mathrm{C}}_r(5^{4-r}-4^{4-r})$$通りである。よって条件を満たす出方の総数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{r=1}^3{}_4{\mathrm{C}}_r(5^{4-r}-4^{4-r})}& {\displaystyle =4(125-64)+6(25-16)+4(5-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =244+54+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =302}\end{array}$$通りである。したがって確率は$${\displaystyle \frac{302}{6^4}}={\displaystyle \frac{151}{648}}$$である。