北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

円 $C$ は $x^2+(y-2{)}^2=2$ であり，中心を $B=(0,2)$，半径を $\sqrt{2}$ とする。
(1) $A(-\sqrt{2},0)$ と $O(0,0)$ を通る円の中心は，線分 $AO$ の垂直二等分線上にある。よって中心を $$D=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},s)$$ とおく。この円の半径 $R$ は $R^2={\displaystyle \frac{1}{2}}+s^2$ であり，$D$ と $B$ の距離 $d$ は $d^2={\displaystyle \frac{1}{2}}+(s-2{)}^2$ である。
外接の場合は $d=R+\sqrt{2}$ である。平方して整理すると $d^2=R^2+2+2\sqrt{2}R$ であり，$d^2-R^2-2=2-4s$ だから $2\sqrt{2}R=2-4s$ となる。右辺が非負であることも考えると，これを平方して得られる候補のうち $s=0$ だけが適する。
内接の場合は $d=\mathrm{\mid }R-\sqrt{2}\mathrm{\mid }$ である。同様に $d^2=R^2+2-2\sqrt{2}R$ より $2\sqrt{2}R=4s-2$ となり，候補のうち $s=2$ だけが適する。
したがって求める中心は$$(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},0),(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},2)$$である。
(2)
点 $P$ が円 $C$ 上を動くとき，$A,O,P$ を通る円は $C$ と共有点をもつ。共有点をもつ範囲の限界では2円が接し，(1)で求めた $s=0,2$ の場合が角の極値を与える。
弦 $AO$ の長さは $\sqrt{2}$ である。$A,O,P$ を通る円の半径を $R$ とすると $$\sin \mathrm{\angle }APO={\displaystyle \frac{AO}{2R}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2R}}$$ である。 $s=0$ では $R=\sqrt{2}\mathrm{/}2$ なので $\mathrm{\angle }APO={90}^{\circ }$ であり，$\cos \mathrm{\angle }APO=0$ である。 $s=2$ では $R=3\sqrt{2}\mathrm{/}2$ なので $$\sin \mathrm{\angle }APO={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2\cdot 3\sqrt{2}\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。このときの角は鋭角であるから $$\cos \mathrm{\angle }APO=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{9}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$ である。
よって最大値は ${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ であり，最小値は $0$ である。

$C_1$ は $C$ に外接し，$C_2$ は $C$ に内接する。