北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $0<x<1$ とする。分母 $2x^2+1$ は正であり，分子 $3x^2$ も正であるから $f(x)>0$ である。

また $f(x)<1$ は $${\displaystyle \frac{3x^2}{2x^2+1}}<1$$ と同値である。分母は正なので両辺に $2x^2+1$ を掛けて $3x^2<2x^2+1$ すなわち $x^2<1$ を得る。これは $0<x<1$ で成り立つ。したがって $0<f(x)<1$ である。

(2) $f(x)-x=0$ は $${\displaystyle \frac{3x^2}{2x^2+1}}-x=0$$ である。分母を払うと $3x^2-x(2x^2+1)=0$ すなわち $x(-2x^2+3x-1)=0$ である。よって $x(2x^2-3x+1)=0$ となり，因数分解して $x(2x-1)(x-1)=0$ を得る。したがって解は $$x=0,x={\displaystyle \frac{1}{2}},x=1$$ である。

(3)
(1)より，$0<a_n<1$ ならば $0<a_{n+1}<1$ である。初期値 $0<\alpha <1$ から出発するので，すべての $n$ について $0<a_n<1$ である。

また $$f(x)-x={\displaystyle \frac{3x^2}{2x^2+1}}-x={\displaystyle \frac{x(1-x)(2x-1)}{2x^2+1}}$$ である。$0<x<1$ では分母と $x(1-x)$ は正なので，符号は $2x-1$ で決まる。

まず $0<\alpha <1\mathrm{/}2$ とする。このとき $a_1<1\mathrm{/}2$ であり，もし $0<a_n<1\mathrm{/}2$ ならば $f(a_n)-a_n<0$ だから $0<a_{n+1}<a_n<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $\{a_n\}$ は単調減少で下に有界なので収束する。その極限を $L$ とすると，$f$ は連続であるから $L=f(L)$ である。さらに $0\leqq L<1\mathrm{/}2$ だから，(2)の固定点のうち該当するものは $0$ だけである。したがって ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$ である。

次に $\alpha =1\mathrm{/}2$ のときは，(2)より $f(1\mathrm{/}2)=1\mathrm{/}2$ であるから $$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(n=1,2,3,\dots )$$ であり，極限は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

最後に $1\mathrm{/}2<\alpha <1$ とする。このとき，$1\mathrm{/}2<a_n<1$ ならば $f(a_n)-a_n>0$ だから ${\displaystyle \frac{1}{2}}<a_n<a_{n+1}<1$ である。よって $\{a_n\}$ は単調増加で上に有界なので収束する。極限を $L$ とすると $L=f(L)$ であり，さらに $1\mathrm{/}2<L\leqq 1$ であるから，(2)の固定点のうち該当するものは $1$ だけである。したがって ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=1$ である。

以上をまとめると$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\{\begin{array}{ll}0& (0<\alpha <{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& (\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 1& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<\alpha <1)\mathrm{.}\end{array}$$である。