北海道大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $t=\sqrt{3}\sin x+\cos x$ とおく。まず $$t^2=3{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$$ である。これを $$3{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1+2{\sin }^{2}x,2\sqrt{3}\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin 2x$$ と直すと $$t^2=1+2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x$$ である。一方，$-\cos 2x=2{\sin }^{2}x-1$ だから $$\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=t^2-2$$ となる。したがって $f(x)=t^2+kt-2$ である。
(2) $k=-1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のとき，$f(x)=0$ は $$t^2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}t-2=0$$ である。これを解くと $$t=\sqrt{3},t=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ である。
ここで $$t=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$$ である。$0<x<\pi$ のとき $${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$$ なので $-1<t\leqq 2$ である。したがって $t=-2\mathrm{/}\sqrt{3}$ は値域に入らない。 $t=\sqrt{3}$ より $$2\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\sqrt{3}$$ である。上の範囲で $\sin (x+\pi \mathrm{/}6)=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ となるのは $$x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ であるから $$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。
(3)
(1)より，方程式 $f(x)=0$ は $q(t)=t^2+kt-2=0$ と同値である。ただし $0<x<\pi$ に対応する $t$ の値域は $-1<t\leqq 2$ である。
端の値を調べると $$q(-1)=-k-1,q(2)=2k+2=2(k+1)$$ である。$k\mathrm{\ne }-1$ のとき，$q(-1)$ と $q(2)$ は異符号である。したがって連続性により，$-1<t<2$ に $q(t)=0$ を満たす $t$ が存在する。この $t$ は $0<x<\pi$ のある $x$ で実現される。 $k=-1$ のときは $q(t)=t^2-t-2=(t-2)(t+1)$ であり，$t=2$ が値域に含まれる。実際，$t=2$ は $$2\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=2$$ すなわち $x=\pi \mathrm{/}3$ で実現する。
以上より，任意の実数 $k$ に対して，$0<x<\pi$ の範囲で $f(x)=0$ は解をもつ。

$0<x<\pi$ に対応する値域は $-1<t\leqq 2$。