北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

座標を用いて考える。直角三角形で $AB=1$，$\mathrm{\angle }B=\theta$ だから，$$BC=\cos \theta ,AC=\sin \theta$$ である。そこで $$C=(0,0),B=(\cos \theta ,0),A=(0,\sin \theta )$$ とおく。

点 $D$ は $C$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足である。直線 $AB$ の方向ベクトルは $(\cos \theta ,-\sin \theta )$ であり，直線 $AB$ 上の点を $$A+s(\cos \theta ,-\sin \theta )=(s\cos \theta ,\sin \theta (1-s))$$ と書ける。これが $C$ からの垂線の足であるためには，この点へのベクトルが $AB$ の方向ベクトルと直交すればよい。したがって $$(s\cos \theta ,\sin \theta (1-s))\cdot (\cos \theta ,-\sin \theta )=0$$ より $$s{\cos }^2\theta -(1-s){\sin }^2\theta =0,s={\sin }^2\theta \mathrm{.}$$ よって $$D=(\cos \theta {\sin }^2\theta ,\sin \theta {\cos }^2\theta )$$ である。

点 $E$ は $D$ から $BC$ に下ろした垂線の足であり，$BC$ は $x$ 軸上にあるから $$E=(\cos \theta {\sin }^2\theta ,0)$$ である。したがって $$DE=\sin \theta {\cos }^2\theta ,AC=\sin \theta$$ なので $$\frac{DE}{AC}={\cos }^2\theta$$ である。

(2)

垂線 $CD,DE$ と直線 $AE$ の位置関係。

次に $F$ を求める。直線 $CD$ は原点を通り，傾きが$$\frac{\sin \theta {\cos }^2\theta }{\cos \theta {\sin }^2\theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$$であるから $$CD:y=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }x$$ である。また直線 $AE$ は $A=(0,\sin \theta )$ と $$E=(\cos \theta {\sin }^2\theta ,0)$$ を通るので $$AE:y=\sin \theta -\frac{x}{\cos \theta \sin \theta }$$ である。

2直線の交点を求めると$$\frac{\cos \theta }{\sin \theta }x=\sin \theta -\frac{x}{\cos \theta \sin \theta }\mathrm{.}$$両辺に $\cos \theta \sin \theta$ を掛けて $${\cos }^2\theta x={\sin }^2\theta \cos \theta -x$$ となるから $$(1+{\cos }^2\theta )x={\sin }^2\theta \cos \theta \mathrm{.}$$ よって$$F=(\frac{{\sin }^2\theta \cos \theta }{1+{\cos }^2\theta },\frac{\sin \theta {\cos }^2\theta }{1+{\cos }^2\theta })$$である。

三角形 $FEC$ では，底辺を $CE$ と見ると $$CE=\cos \theta {\sin }^2\theta$$ であり，高さは $F$ の $y$ 座標 $\frac{\sin \theta {\cos }^2\theta }{1+{\cos }^2\theta }$ である。したがって面積は$$\frac{1}{2}\cdot \cos \theta {\sin }^2\theta \cdot \frac{\sin \theta {\cos }^2\theta }{1+{\cos }^2\theta }=\frac{{\sin }^3\theta {\cos }^3\theta }{2(1+{\cos }^2\theta )}$$である。