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北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

−π2≦θ≦π2
で定義された関数f(θ)=4cos⁡2θsin⁡θ+32cos⁡2θ−4sin⁡θを考える。

(1) x=sin⁡θとおく。f(θ)をxで表せ。

(2) f(θ)の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めよ。

(3) 方程式f(θ)=kが相異なる3つの解をもつような
実数kの値の範囲を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安22分

三角関数、関数　置換、増減表、範囲評価

方針

(1) (2)は x=sin⁡θ によって三角関数を三次関数 F(x) に直し、−1≦x≦1 の端点と停留点を比較する。(3)では sin⁡θ が与えられた区間で一対一であることを使い、F(x)=k が3つの単調区間それぞれで1解ずつもつ条件を、極小値・端点値・極大値の上下関係から読む。

解答

(1) x=sin⁡θ とおく。−π/2≦θ≦π/2 なので −1≦x≦1 である。二倍角の公式より cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ=1−2x2 であるから f(θ)=4(1−2x2)x+32(1−2x2)−4x である。整理して f(θ)=−8x3−62x2+32 である。

(2) F(x)=−8x3−62x2+32 とおく。x=sin⁡θ はこの区間で一対一に [−1,1] を動くので、F(x) の最大・最小を調べればよい。

微分すると F′(x)=−24x2−122x=−12x(2x+2) である。したがって停留点は x=−22,x=0 である。端点も含めると F(−1)=8−32,F(−22)=22, F(0)=32,F(1)=−8−32 である。よって最大値は 32(θ=0) であり、最小値は −8−32(θ=π2) である。

(3) F′(x)=−12x(2x+2) より、F(x) は[−1,−2/2] で減少,[−2/2,0] で増加,[0,1] で減少である。各区間の端の値はF(−1)=8−32,F(−2/2)=22,F(0)=32,F(1)=−8−32である。

方程式 F(x)=k が3つの相異なる解をもつには、3つの単調区間それぞれで1つずつ交点をもてばよい。左の区間で交点をもつには 22≦k≦8−32 が必要である。ただし k=22 では、左区間と中央区間の交点が同じ点 x=−2/2 になり、相異なる解は2つに減る。したがって下端は含まない。

中央区間と右区間の条件も合わせると、求める範囲は 22<k≦8−32 である。上端 k=8−32 では x=−1 が1つの解となり、中央区間と右区間にも1つずつ解があるので、相異なる3解をもつ。

水平線 y=k がグラフと相異なる3点で交わる範囲は
22<k≦8−32 である。下端では極小点に接して2点に
減るが、上端では x=−1 を含めて3点となる。

総評

難度6、目安時間22分。文系第2問の最大最小に、水平線との交点数判定が加わった問題である。増減表を作ると、k=22 は極小点で接するだけなので除外、k=8−32 は端点解を含めて3解になるので含める、という端点処理が明確になる。θ ではなく x=sin⁡θ で解の個数を数えてよいのは、この区間で一対一だからである。

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出典: 北海道大学 2012年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。