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北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

−π2≦θ≦π2
で定義された関数f(θ)=4cos⁡2θsin⁡θ+32cos⁡2θ−4sin⁡θを考える。

(1) x=sin⁡θとおく。f(θ)をxで表せ。

(2) f(θ)の最大値と最小値，およびそのときのθの値を求めよ。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安18分

三角関数、関数　置換、増減表、範囲評価

方針

区間 −π/2≦θ≦π/2 では x=sin⁡θ が [−1,1] を一対一に動くので、三角関数の最大最小を三次関数の最大最小に置き換える。cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ で F(x) を作り、端点 x=±1 と停留点 x=0,−2/2 の値をすべて比較する。

解答

(1) x=sin⁡θ とおく。二倍角の公式より cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ=1−2x2 である。したがって f(θ)=4(1−2x2)x+32(1−2x2)−4x であり、整理して f(θ)=−8x3−62x2+32 である。

(2) −π/2≦θ≦π/2 では x=sin⁡θ は [−1,1] を一対一に動く。よって F(x)=−8x3−62x2+32 の −1≦x≦1 における最大値・最小値を調べればよい。

微分すると F′(x)=−24x2−122x=−12x(2x+2) である。したがって停留点は x=0,x=−22 である。端点も含めて値を計算すると F(−1)=8−32,F(−22)=22, F(0)=32,F(1)=−8−32 である。これらを比較すると −8−32<22<8−32<32 となる。

よって最大値は 32 であり、そのとき x=0、すなわち θ=0 である。最小値は −8−32 であり、そのとき x=1、すなわち θ=π2 である。

総評

難度5、目安時間18分。三角関数の形は複雑に見えるが、x=sin⁡θ と置けば三次関数の増減問題になる。停留点だけで結論を出さず、端点 x=±1 を必ず比較することが重要である。x と θ がこの区間で一対一に対応するため、最後の θ の値も迷わず戻せる。

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出典: 北海道大学 2012年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。