北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $n$ は自然数なので，区間 $[n,n+1]$ で $x{e}^x>0$ である。したがって$$S_n={\int }_n^{n+1}x{e}^{x}dx\mathrm{.}$$部分積分により$$\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={[(x-1)e^x]}_n^{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n{e}^{n+1}-(n-1)e^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^n\{n(e-1)+1\}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$${\displaystyle \frac{S_n}{n{e}^n}}=e-1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$$であり，$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n{e}^n}}=e-1.$$(2) $D_n$ を $x$ 軸のまわりに回転すると，半径 $x{e}^x$ の円板を積み重ねた立体になる。したがって$$V_n=\pi {\int }_n^{n+1}{x}^2{e}^{2x}dx\mathrm{.}$$部分積分を繰り返すと$$\int x^2{e}^{2x}dx=e^{2x}({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})$$なので$$\begin{array}{r}{\displaystyle V_n=\pi e^{2n}[e^2\{{\displaystyle \frac{(n+1{)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{n+1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\}-({\displaystyle \frac{n^2}{2}}-{\displaystyle \frac{n}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})]\mathrm{.}}\end{array}$$両辺を $n^2{e}^{2n}$ で割ると，$n$ の最高次の係数だけが残り，$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V_n}{n^2{e}^{2n}}}={\displaystyle \frac{\pi (e^2-1)}{2}}\mathrm{.}$$(1)と合わせて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V_n}{S_n^2}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V_n}{n^2{e}^{2n}}}}{{\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n{e}^n}}\right)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi (e^2-1)}{2(e-1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi (e+1)}{2(e-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$

$D_n$ は幅1の曲線下領域で，回転時の半径は $x{e}^x$。

積分区間を $x=n+u$ で固定区間 $[0,1]$ へ移す。面積と体積をそれぞれ $n{e}^n$，$n^2{e}^{2n}$ で割ると，被積分関数が直接収束するため主要項を読みやすい。

(1) $x=n+u$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{S_n}{n{e}^n}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{n{e}^n}}{\int }_n^{n+1}x{e}^{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1(1+{\displaystyle \frac{u}{n}})e^{u}du\mathrm{.}}\end{array}$$$0\leqq u\leqq 1$ で $1+u\mathrm{/}n\to 1$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n{e}^n}}={\int }_0^1{e}^{u}du=e-1.$$(2) 同じ置換により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V_n}{n^2{e}^{2n}}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{n^2{e}^{2n}}}{\int }_n^{n+1}{x}^2{e}^{2x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1{(1+{\displaystyle \frac{u}{n}})}^2{e}^{2u}du\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V_n}{n^2{e}^{2n}}}=\pi {\int }_0^1{e}^{2u}du={\displaystyle \frac{\pi (e^2-1)}{2}}\mathrm{.}$$したがって(1)と合わせて$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{V_n}{S_n^2}}={\displaystyle \frac{\pi (e^2-1)}{2(e-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{\pi (e+1)}{2(e-1)}}$$である。