北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $k=2$ のとき，漸化式は $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n$ である。これを移項すると $$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n$$ となる。したがって階差 $a_{n+1}-a_n$ は一定である。

初期値より $a_2-a_1=1-0=1$ だから，すべての $n$ について $a_{n+1}-a_n=1$ である。よって $a_n=a_1+(n-1)\cdot 1=n-1$ である。

(2)
与えられた式 $$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)$$ を展開すると $$a_{n+2}-(\alpha +\beta )a_{n+1}+\alpha \beta a_n=0$$ である。

まず $n=1$ を代入する。$a_1=0$，$a_2=1$，$a_3=k$ であるから $k-\beta =\alpha$ となる。したがって $\alpha +\beta =k$ である。

次に $n=2$ を代入する。漸化式より $a_4=k{a}_3-a_2=k^2-1$ であるから $$k^2-1-\beta k=\alpha (k-\beta )$$ を得る。すでに $\alpha =k-\beta$ が分かっているので $$k^2-1-\beta k=(k-\beta {)}^2$$ である。整理すると $k\beta -{\beta }^2=1$ すなわち $\beta (k-\beta )=1$ である。ここで $k-\beta =\alpha$ だから $\alpha \beta =1$ である。

(3)
(2)より $$\alpha +\beta =k,\alpha \beta =1$$ である。したがって $\alpha ,\beta$ は二次方程式 $t^2-kt+1=0$ の2つの解である。

この二次方程式が異なる実数解をもつ条件は，判別式が正であること，すなわち $k^2-4>0$ である。よって $$k<-2\text{または}k>2$$ である。

このとき解の公式より，$\alpha ,\beta$ は順序を除いて ${\displaystyle \frac{k+\sqrt{k^2-4}}{2}},{\displaystyle \frac{k-\sqrt{k^2-4}}{2}}$ である。