北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

まず $a_1,b_1$ を計算する。定義より$$a_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{r\cos \theta +r}{2}=r\frac{1+\cos \theta }{2}\mathrm{.}$$半角公式 $$\frac{1+\cos \theta }{2}={\cos }^2\frac{\theta }{2}$$ を用いると $$a_1=r{\cos }^2\frac{\theta }{2}\mathrm{.}$$ また$$b_1=\sqrt{a_1{b}_0}=\sqrt{r^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}=r\cos \frac{\theta }{2}$$である。ここで $-\pi \mathrm{/}2<\theta <\pi \mathrm{/}2$ だから $\cos (\theta \mathrm{/}2)>0$ である。よって $$\frac{a_1}{b_1}=\cos \frac{\theta }{2}\mathrm{.}$$ 同様に，$a_2$ は$$a_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{r{\cos }^2(\theta \mathrm{/}2)+r\cos (\theta \mathrm{/}2)}{2}=r\cos \frac{\theta }{2}\cdot \frac{1+\cos (\theta \mathrm{/}2)}{2}$$である。したがって $$a_2=r\cos \frac{\theta }{2}{\cos }^2\frac{\theta }{4}\mathrm{.}$$ また$$b_2=\sqrt{a_2{b}_1}=\sqrt{r^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}{\cos }^2\frac{\theta }{4}}=r\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{4}\mathrm{.}$$よって $$\frac{a_2}{b_2}=\cos \frac{\theta }{4}\mathrm{.}$$(2)

一般に $$\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}=\cos \varphi$$ と書けるとする。このとき$$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}=b_{n-1}\frac{1+\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}}{2}=b_{n-1}\frac{1+\cos \varphi }{2}=b_{n-1}{\cos }^2\frac{\varphi }{2}\mathrm{.}$$さらに $$b_n=\sqrt{a_n{b}_{n-1}}=b_{n-1}\cos \frac{\varphi }{2}$$ である。したがって $$\frac{a_n}{b_n}=\cos \frac{\varphi }{2}\mathrm{.}$$ (1) の結果から帰納的に $$\frac{a_n}{b_n}=\cos \frac{\theta }{2^n}$$ である。

(3)

（2）の計算から$$b_n=b_{n-1}\cos \frac{\theta }{2^n}$$である。そこで$$C_n=\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{4}\cdots \cos \frac{\theta }{2^n}$$とおくと、$b_n=r{C}_n$ である。

漸化式を1回進めるたび、余弦に現れる角が半分になる。

倍角公式を $n$ 回繰り返すと$$\sin \theta =2^n\sin \frac{\theta }{2^n}{C}_n\mathrm{.}$$$\theta \mathrm{\ne }0$ より$$C_n=\frac{\sin \theta }{2^n\sin (\theta \mathrm{/}{2}^n)}\mathrm{.}$$したがって$$b_n=\frac{r\sin \theta }{\theta }\cdot \frac{\theta \mathrm{/}{2}^n}{\sin (\theta \mathrm{/}{2}^n)}\mathrm{.}$$$$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\sin z}{z}=1$$を用いると$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=\frac{r\sin \theta }{\theta }\mathrm{.}$$また$$a_n=b_n\cos \frac{\theta }{2^n},\cos \frac{\theta }{2^n}⟶1$$であるから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=\frac{r\sin \theta }{\theta }\mathrm{.}$$