北海道大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
倍角公式 $\cos 2u=2{\cos }^{2}u-1$ を用いる。$n=1$ では $${\displaystyle x_1=\cos \left(\frac{2\pi }{p}\right)=\cos \left(\frac{2^1\pi }{p}\right)}$$ である。

いま $${\displaystyle x_n=\cos \left(\frac{2^n\pi }{p}\right)}$$ と仮定すると、漸化式より$$x_{n+1}=2x_n^2-1=2{\cos }^2\left(\frac{2^n\pi }{p}\right)-1=\cos \left(\frac{2^{n+1}\pi }{p}\right)$$である。したがって帰納法により $${\displaystyle x_n=\cos \left(\frac{2^n\pi }{p}\right)}$$ である。

(2)
まず $p=2^l$ の場合を考える。(1)より $${\displaystyle x_n=\cos \left(\frac{2^n\pi }{2^l}\right)=\cos \left(2^{n-l}\pi \right)}$$ である。$n\geqq l+1$ なら $2^{n-l}\pi$ は $2\pi$ の整数倍なので $x_n=1$ である。よって ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=1$ である。

次に $p=3\times 2^l$ の場合を考える。このとき $${\displaystyle x_n=\cos \left(\frac{2^{n-l}\pi }{3}\right)}$$ である。$n\geqq l+1$ では、$2^{n-l}$ は3で割ると1または2を交互に余りとして持つので、角は $2\pi$ の整数倍を除いて ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}\text{または}\frac{4\pi }{3}}$ である。どちらも余弦は $-\frac{1}{2}$ である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=-\frac{1}{2}$$ である。

(3)
$p=5\times 2^l$ とする。(1)より $${\displaystyle x_n=\cos \left(\frac{2^{n-l}\pi }{5}\right)}$$ である。$n\geqq l+1$ とすると、$2^{n-l}$ を10で割った余りは $2,4,8,6,2,4,8,6,\dots$ と周期的に現れる。

したがって $x_n$ は、十分大きい $n$ について$$\cos \frac{2\pi }{5},\cos \frac{4\pi }{5},\cos \frac{8\pi }{5},\cos \frac{6\pi }{5}$$を周期的にとる。このうち$$\cos \frac{8\pi }{5}=\cos \frac{2\pi }{5},\cos \frac{6\pi }{5}=\cos \frac{4\pi }{5}$$であるから、結局 ${\displaystyle \cos \frac{2\pi }{5}\text{と}\cos \frac{4\pi }{5}}$ という2つの値を交互に取る。

この2つは異なる値である。たとえば $${\displaystyle 0<\frac{2\pi }{5}<\frac{\pi }{2}<\frac{4\pi }{5}<\pi }$$ なので $${\displaystyle \cos \frac{2\pi }{5}>0,\cos \frac{4\pi }{5}<0}$$ である。したがって数列 $\{x_n\}$ は1つの値に収束しない。よって発散する。