北海道大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

最初の正三角形の1辺の長さは $a$ である。

各辺の中央3分の1を、外向きの正三角形の2辺へ置き換える。

(1)

各段階で，すべての辺は3等分され，中央の1つが正三角形の2辺に置き換えられる。つまり，1本の線分は長さが $1\mathrm{/}3$ の4本の線分に置き換わる。

したがって，第 $n$ 回操作後の1本の辺の長さは $\frac{a}{3^n}$ であり，辺の本数は $3\cdot 4^n$ である。よって周の長さ $L_n$ は $$L_n=3\cdot 4^n\cdot \frac{a}{3^n}=3a{\left(\frac{4}{3}\right)}^n$$ である。

(2)

面積を考える。初めの正三角形の面積は $$S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$$ である。

第1回操作で付け加わる正三角形は3個で，それぞれの1辺は $a\mathrm{/}3$ だから，増加面積は$$3\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{a}{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{12}$$である。

一般に，第 $k$ 回操作で付け加わる正三角形の個数は $3\cdot 4^{k-1}$ であり，その1辺の長さは $\frac{a}{3^k}$ である。したがって第 $k$ 回の増加面積は$$3\cdot 4^{k-1}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{a}{3^k}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{12}{\left(\frac{4}{9}\right)}^{k-1}$$である。

よって第 $n$ 回操作後の面積 $S_n$ は$$S_n=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+\sum _{k=1}^n\frac{\sqrt{3}{a}^2}{12}{\left(\frac{4}{9}\right)}^{k-1}\mathrm{.}$$等比数列の和を用いると$$S_n=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+\frac{\sqrt{3}{a}^2}{12}\cdot \frac{1-(4\mathrm{/}9{)}^n}{1-4\mathrm{/}9}\mathrm{.}$$ここで $$\frac{1}{1-4\mathrm{/}9}=\frac{9}{5}$$ であるから$$S_n=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+\frac{3\sqrt{3}}{20}{a}^2\{1-{\left(\frac{4}{9}\right)}^n\}\mathrm{.}$$整理して $$S_n=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{20}\{8-3{\left(\frac{4}{9}\right)}^n\}\mathrm{.}$$ したがって$$S_n=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{20}\{8-3{\left(\frac{4}{9}\right)}^n\}$$である。

(3)

また $${\left(\frac{4}{9}\right)}^n\to 0(n\to \mathrm{\infty })$$ なので，極限の面積は $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{2\sqrt{3}}{5}{a}^2$$ である。