北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

第 $k$ 群より前にある項の個数は$$1+3+\cdots +\{2(k-1)-1\}=(k-1{)}^2$$である。したがって第 $k$ 群の最初の項の番号は$$(k-1{)}^2+1=k^2-2k+2.$$求める項そのものは$$a_{k^2-2k+2}=\frac{1}{(k^2-2k+2)(k^2-2k+3)}$$である。

(2)

第 $k$ 群は $a_{k^2-2k+2}$ から $a_{k^2}$ までである。また$$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\mathrm{.}$$よって中間の項が消え、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_k}& {\displaystyle =\sum _{n=k^2-2k+2}^{k^2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{k^2-2k+2}-\frac{1}{k^2+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2k-1}{(k^2-2k+2)(k^2+1)}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

条件へ(2)を代入すると$$\frac{2k-1}{k^2-2k+2}\leqq \frac{1}{100}\mathrm{.}$$分母は正であるから$$k^2-202k+102\geqq 0.$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {201}^2-202\cdot 201+102}& {\displaystyle =-99<0,}\\ {\displaystyle {202}^2-202\cdot 202+102}& {\displaystyle =102>0.}\end{array}$$また、この2次式の軸は $k=101$ であり、$k\geqq 101$ では増加する。したがって条件を満たす最小の自然数は$$k=202$$である。