北海道大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2x}}={\displaystyle \frac{x+1}{2x}}$$ とおくと，漸化式は $a_{n+1}=f(a_n)$ と書ける。したがって $a_{2k+1}=f(f(a_{2k-1}))$ である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(f(x))}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{2x}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3x+1}{2(x+1)}}}\end{array}$$である。よって $$a_{2k+1}={\displaystyle \frac{3a_{2k-1}+1}{2(a_{2k-1}+1)}}$$ である。

(2) $$g(x)={\displaystyle \frac{3x+1}{2(x+1)}}$$とおく。$x>1$のとき，$g(x)>1$ は $3x+1>2x+2$ すなわち$x>1$と同値である。したがって$x>1$なら$g(x)>1$である。

また $g(x)<x$ は $3x+1<2x(x+1)=2x^2+2x$ すなわち $0<2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$ と同値である。$x>1$ならこれは成り立つ。よって$x>1$なら $1<g(x)<x$ である。

$a_1>1$であり，(1)より$a_{2k+1}=g(a_{2k-1})$だから，数学的帰納法によりすべての$k$で $1<a_{2k+1}<a_{2k-1}$ が成り立つ。

(3)

$a_1=2$ の例。奇数項は1の上から減少し、偶数項も1へ近づく。

(3)

(2) より，奇数番目の部分列 $a_1,a_3,a_5,\dots$ は1より大きく，単調減少する。したがって極限をもつ。その極限を$L$とすると，$L\geqq 1$であり，(1)の式から $$L={\displaystyle \frac{3L+1}{2(L+1)}}$$ を満たす。整理すると $2L^2+2L=3L+1$ すなわち $2L^2-L-1=0$ である。因数分解して $(2L+1)(L-1)=0$ であり，$L\geqq 1$だから $L=1$ である。よって $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2k-1}=1$$ である。

偶数番目については $$a_{2k}=f(a_{2k-1})={\displaystyle \frac{a_{2k-1}+1}{2a_{2k-1}}}$$ であるから，$a_{2k-1}\to 1$より $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2k}={\displaystyle \frac{1+1}{2}}=1$$ である。奇数番目と偶数番目の部分列がともに1に収束するので，数列全体について ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=1$ である。

一次分数変換の2つの不動点 $1,-1\mathrm{/}2$ との差の比をとり、漸化式を等比数列へ変換する。$b_n=(a_n-1)\mathrm{/}(2a_n+1)$ とおくと公比が $-1\mathrm{/}2$ になる。奇数項では $b_{2k-1}$ が正のまま減少し、$a=(1+b)\mathrm{/}(1-2b)$ が $b$ とともに増えることから(2)も同時に示せる。

次の量を導入する。$$b_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{2a_n+1}}\mathrm{.}$$$a_1>1$ だから $0<b_1<1\mathrm{/}2$ である。漸化式を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a_n+1}{2a_n}}-1}{2{\displaystyle \frac{a_n+1}{2a_n}}+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{a_n-1}{2a_n+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$b_n={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}{b}_1\mathrm{.}$$(1)

$b_{2k+1}=b_{2k-1}\mathrm{/}4$ を $a$ に戻して整理すれば$$a_{2k+1}={\displaystyle \frac{3a_{2k-1}+1}{2(a_{2k-1}+1)}}$$を得る。

(2) $$b_{2k-1}={\displaystyle \frac{b_1}{4^{k-1}}}>0,0<b_{2k+1}<b_{2k-1}<{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$一方、$b=(a-1)\mathrm{/}(2a+1)$ を $a$ について解くと$$a={\displaystyle \frac{1+b}{1-2b}}\mathrm{.}$$$0<b<1\mathrm{/}2$ では、$b$ が大きいほど右辺も大きい。したがって$$1<a_{2k+1}<a_{2k-1}\mathrm{.}$$(3)

$b_n\to 0$ であり、$$a_n={\displaystyle \frac{1+b_n}{1-2b_n}}$$だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1$$である。