北海道大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $n=1$ のとき$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$であるから $$a_1=d_1=2,b_1=c_1=1$$ であり，主張は成り立つ。

ある自然数 $n$ で$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ b_n& a_n\end{array}\right)$$と書けると仮定する。このとき$$A^{n+1}=A^{n}A=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ b_n& a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a_n+b_n& a_n+2b_n\\ a_n+2b_n& 2a_n+b_n\end{array}\right)$$である。したがって $A^{n+1}$ でも対角成分は等しく，また対角でない2成分も等しい。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $a_n=d_n,b_n=c_n$ である。

(2)
(1)の計算から $$a_{n+1}=2a_n+b_n,b_{n+1}=a_n+2b_n$$ である。これを2で割った余りで見ると $$a_{n+1}\equiv b_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2),b_{n+1}\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。 $n=1$ では $a_1=2,b_1=1$ なので，$a_1$ は偶数，$b_1$ は奇数である。上の合同式より，$n$ が1増えるたびに $a_n$ と $b_n$ の偶奇は入れ替わる。したがって $n\text{ が奇数ならば }{a}_n\text{ は偶数},n\text{ が偶数ならば }{a}_n\text{ は奇数}$ である。

2本の列ベクトル ${(1,1)}^T$，${(1,-1)}^T$ に対する $A$ の作用を直接調べる。$A^n$ が両ベクトルへどう作用するかを成分で比較すると、4成分の一般項が一度に求まり、対称性と偶奇が同時に従う。

(1)

列ベクトル$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$を考える。直接計算すると$$A\mathbf{u}=3\mathbf{u},A\mathbf{v}=\mathbf{v}$$である。したがって、数学的帰納法により$$A^n\mathbf{u}=3^n\mathbf{u},A^n\mathbf{v}=\mathbf{v}$$となる。

一方、$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$$と書けば$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle a_n+b_n}& {\displaystyle =3^n,}& {\displaystyle c_n+d_n}& {\displaystyle =3^n,}\\ {\displaystyle a_n-b_n}& {\displaystyle =1,}& {\displaystyle c_n-d_n}& {\displaystyle =-1}\end{array}$$である。これらを解くと$$a_n=d_n={\displaystyle \frac{3^n+1}{2}},b_n=c_n={\displaystyle \frac{3^n-1}{2}}$$を得る。これで(1)が示された。

(2)

さらに、$n$ が奇数なら $3^n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ なので $3^n+1$ は4の倍数であり、$a_n$ は偶数である。$n$ が偶数なら $3^n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ なので $3^n+1$ は4で割ると2余り、$a_n$ は奇数である。よって(2)も示された。