北海道大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $f(x)=ax(1-x)$ であるから $$f\left(\frac{1}{2}\right)=a\cdot \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})=\frac{a}{4}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)}& {\displaystyle =f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f\left(\frac{a}{4}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a\cdot \frac{a}{4}(1-\frac{a}{4})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^2(4-a)}{16}}\end{array}$$である。

これを $$H(a)=\frac{a^2(4-a)}{16}$$ とおく。$a>0$ で考える。微分すると $$H^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{1}{16}(8a-3a^2)=\frac{a(8-3a)}{16}$$ である。したがって $H(a)$ は $0<a<\frac{8}{3}$ で増加し、$a>\frac{8}{3}$ で減少する。よって最大となるのは $a=\frac{8}{3}$ のときである。このとき $$H\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{(64\mathrm{/}9)(4\mathrm{/}3)}{16}=\frac{16}{27}$$ である。したがって である。

(2) $u=x(1-x)$ とおく。$0\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq u\leqq \frac{1}{4}$ であり、$x=1\mathrm{/}2$ のときちょうど $u=\frac{1}{4}$ となる。

この $u$ を使うと $f(x)=au$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle =f(f(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a(au)(1-au)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^{2}u-a^3{u}^2}\end{array}$$である。$a>0$ なので、これは $u$ について上に凸の2次関数であり、軸は $$u=\frac{a^2}{2a^3}=\frac{1}{2a}$$ である。 $x=1\mathrm{/}2$ で $g(x)$ が最大値をとるためには、$u$ の区間 $[0,1\mathrm{/}4]$ の右端 $u=1\mathrm{/}4$ で $a^{2}u-a^3{u}^2$ が最大になればよい。下向きの2次関数は軸までは増加し、軸を過ぎると減少する。したがって、右端で最大になる条件は軸が右端以上にあること、すなわち $\frac{1}{2a}\geqq \frac{1}{4}$ である。$a>0$ よりこれは $a\leqq 2$ と同値である。

したがって求める範囲は である。$a=2$ のときは軸がちょうど $u=1\mathrm{/}4$ に一致するので、確かに $x=1\mathrm{/}2$ で最大値をとる。

(3)

(2) の範囲では $0<a\leqq 2$ である。この範囲で (1) の $$H(a)=\frac{a^2(4-a)}{16}$$ を最大化すればよい。

すでに $$H^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{a(8-3a)}{16}$$ である。$0<a\leqq 2$ では $8-3a\geqq 2>0$ なので $H^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ である。したがって $H(a)$ はこの範囲で増加する。よって最大となるのは右端 である。