北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
求める円は原点Oを通るので、一般形を $x^2+y^2+ux+vy=0$ とおける。

点 $A(2,1)$ を代入すると $5+2u+v=0$ であり、点 $B(1,2)$ を代入すると $5+u+2v=0$ である。これらを解くと $u=v=-\frac{5}{3}$ である。したがって円の方程式は $$x^2+y^2-\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}y=0$$ である。

(2)
球面Sの中心を $C(a,b,c)$ とする。Sが3点 $O,A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }}$ を通るので、中心Cからそれぞれの点までの距離が等しい。

まず $C{O}^2=C{A}^{\mathrm{\prime }2}$ より $$a^2+b^2+c^2=(a-2{)}^2+(b-1{)}^2+c^2$$ である。整理すると $4a+2b=5$ を得る。同様に $C{O}^2=C{B}^{\mathrm{\prime }2}$ より $$a^2+b^2+c^2=(a-1{)}^2+(b-2{)}^2+c^2$$ なので $2a+4b=5$ である。これらを解くと $a=b=\frac{5}{6}$ である。

このとき球の半径の2乗は$$R^2=C{O}^2={\left(\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(\frac{5}{6}\right)}^2+c^2=\frac{25}{18}+c^2$$である。

直線 $l$ 上の点は $(t+2,t+2,t)$ と表される。中心 $C(5\mathrm{/}6,5\mathrm{/}6,c)$ からこの点までの距離の2乗を $D(t)$ とおくと $$D(t)={(t+2-\frac{5}{6})}^2+{(t+2-\frac{5}{6})}^2+(t-c{)}^2$$ すなわち $$D(t)=2{(t+\frac{7}{6})}^2+(t-c{)}^2$$ である。

Sが直線 $l$ と共有点をもつための条件は、$D(t)$ の最小値が $R^2$ 以下であることである。$D(t)$ を整理して最小化すると $${\displaystyle D(t)=3t^2+(\frac{14}{3}-2c)t+\frac{49}{18}+c^2}$$ であり、最小値は ${\displaystyle \frac{49}{18}+c^2-\frac{1}{3}{(c-\frac{7}{3})}^2}$ である。

よって条件は$$\frac{49}{18}+c^2-\frac{1}{3}{(c-\frac{7}{3})}^2\leqq \frac{25}{18}+c^2$$である。整理すると $$\frac{1}{3}{(c-\frac{7}{3})}^2\geqq \frac{4}{3}$$ すなわち $\mid c-\frac{7}{3}\mid \geqq 2$ である。

したがって求める条件は $${\displaystyle a=b=\frac{5}{6},c\leqq \frac{1}{3}\text{または }c\geqq \frac{13}{3}}$$ である。

(1) と、球が $O,A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }}$ を通ることによる中心の $a,b$ の決定までは主解法と同じである。その後、直線上の点 $(t+2,t+2,t)$ を球面の方程式へ直接代入し、$t$ の二次方程式が実数解をもつ条件を判別式で調べる。最短距離を明示せず、共有点の存在を代数的に判定する。

(1)
原点を通る円を$$x^2+y^2+ux+vy=0$$とおく。$A(2,1),B(1,2)$ を代入すると$$2u+v=-5,u+2v=-5$$なので $u=v=-5\mathrm{/}3$ である。よって$$x^2+y^2-\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}y=0$$である。

(2)
球の中心を $C(a,b,c)$ とする。$CO=C{A}^{\mathrm{\prime }}=C{B}^{\mathrm{\prime }}$ より$$4a+2b=5,2a+4b=5$$を得るから$$a=b=\frac{5}{6}\mathrm{.}$$半径の2乗は$$R^2=\frac{25}{18}+c^2$$である。

直線 $l$ 上の点 $(t+2,t+2,t)$ を球面の方程式へ代入すると$$2{(t+\frac{7}{6})}^2+(t-c{)}^2=\frac{25}{18}+c^2\mathrm{.}$$整理して$$3t^2+(\frac{14}{3}-2c)t+\frac{4}{3}=0$$を得る。球面と直線が共有点をもつことは、この方程式が実数解を
もつことと同値である。判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Delta }}& {\displaystyle ={(\frac{14}{3}-2c)}^2-16}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\{{(c-\frac{7}{3})}^2-4\}}\end{array}$$だから、$\mathrm{\Delta }\geqq 0$ は$$\mid c-\frac{7}{3}\mid \geqq 2$$に同値である。したがって$$a=b=\frac{5}{6},c\leqq \frac{1}{3}\text{または}c\geqq \frac{13}{3}$$である。