北海道大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

$1\leqq t\leqq e$とする。このとき $e^x=t$ となる点は $x=\log t$ であり，$0\leqq \log t\leqq 1$だから積分区間$[0,1]$内にある。また $e^{2x}=t$ となる点は $x={\displaystyle \frac{1}{2}}\log t$ であり，これも$[0,1]$内にある。

まず$f^{\mathrm{\prime }}(t)$を求める。$\mathrm{\mid }{e}^x-t\mathrm{\mid }$については，$0\leqq x<\log t$で$e^x-t<0$，$\log t<x\leqq 1$で$e^x-t>0$である。したがって$t$で微分した寄与は $$(\log t)-(1-\log t)=2\log t-1$$ である。同様に，$\mathrm{\mid }{e}^{2x}-t\mathrm{\mid }$については折れ点が$x=(1\mathrm{/}2)\log t$なので，寄与は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\log t-(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log t)=\log t-1$$ である。よって $f^{\mathrm{\prime }}(t)=3\log t-2$ である。

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3\log t-2$ は $t=e^{2\mathrm{/}3}$ で負から正に変わる。

$1\leqq t\leqq e$で$\log t$は増加するから，$f^{\mathrm{\prime }}(t)$は$t=e^{2\mathrm{/}3}$で負から正に変わる。したがって$f(t)$は $t=e^{2\mathrm{/}3}$ で最小となる。

次に最小値を求める。一般に$a=1,2$に対して$$G_a(t)={\int }_0^1\mid e^{ax}-t\mid dx$$とおく。折れ点$x=(1\mathrm{/}a)\log t$で分けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle G_a(t)}& {\displaystyle ={\int }_0^{(\log t)\mathrm{/}a}(t-e^{ax})dx+{\int }_{(\log t)\mathrm{/}a}^1(e^{ax}-t)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t{\displaystyle \frac{\log t}{a}}-{\displaystyle \frac{t-1}{a}}+{\displaystyle \frac{e^a-t}{a}}-t(1-{\displaystyle \frac{\log t}{a}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t({\displaystyle \frac{2\log t}{a}}-1)+{\displaystyle \frac{e^a+1-2t}{a}}}\end{array}$$である。

$t=e^{2\mathrm{/}3}$を代入する。まず$a=1$について$$G_1(e^{2\mathrm{/}3})=e^{2\mathrm{/}3}({\displaystyle \frac{4}{3}}-1)+e+1-2e^{2\mathrm{/}3}=e+1-{\displaystyle \frac{5}{3}}{e}^{2\mathrm{/}3}$$である。次に$a=2$について$$G_2(e^{2\mathrm{/}3})=e^{2\mathrm{/}3}({\displaystyle \frac{2}{3}}-1)+{\displaystyle \frac{e^2+1-2e^{2\mathrm{/}3}}{2}}={\displaystyle \frac{e^2+1}{2}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}{e}^{2\mathrm{/}3}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(e^{2\mathrm{/}3})}& {\displaystyle =G_1(e^{2\mathrm{/}3})+G_2(e^{2\mathrm{/}3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e+1+{\displaystyle \frac{e^2+1}{2}}-3e^{2\mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^2+2e+3}{2}}-3e^{2\mathrm{/}3}}\end{array}$$である。