北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

定義より $$b_{n+1}=p^{n+1}{a}_{n+1}=p^{n+1}(\frac{1}{p}{a}_n-(-1{)}^{n+1})$$ である。したがって $$b_{n+1}=p^n{a}_n-p^{n+1}(-1{)}^{n+1}=b_n-(-p{)}^{n+1}$$ となる。よって $$b_{n+1}=b_n-(-p{)}^{n+1}$$ である。

(2)

$b_1=p{a}_1=p$ である。(1)より $$b_n=b_1-\sum _{k=1}^{n-1}(-p{)}^{k+1}=p-\sum _{k=2}^n(-p{)}^k$$ である。

$p\mathrm{\ne }-1$ のとき、$$\sum _{k=2}^n(-p{)}^k=p^2\frac{1-(-p{)}^{n-1}}{1+p}$$ だから $$b_n=p-\frac{p^2\{1-(-p{)}^{n-1}\}}{1+p}=\frac{p+p^2(-p{)}^{n-1}}{1+p}$$ である。したがって $$a_n=\frac{b_n}{p^n}=\frac{p^{1-n}+(-1{)}^{n-1}p}{p+1}$$ である。

$p=-1$ のときは、(1)より $b_{n+1}=b_n-1$ であり、$b_1=-1$ だから $b_n=-n$ である。ここで $b_n=(-1{)}^n{a}_n$ なので $$a_n=(-1{)}^n{b}_n=(-1{)}^{n+1}n$$ である。

以上より$$a_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{p^{1-n}+(-1{)}^{n-1}p}{p+1}}& (p\mathrm{\ne }-1),\\ (-1{)}^{n+1}n& (p=-1)\end{array}$$である。

(1) は定義どおり $b_{n+1}$ を計算する。(2) は $p\mathrm{\ne }-1$ で、斉次漸化式の項 $p^{1-n}$ と非斉次項に対応する $(-1{)}^{n-1}$ の一次結合を仮定して係数を決める。公式が使えない $p=-1$ は元の漸化式へ戻り、帰納法で処理する。

(1) 定義から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =p^{n+1}(\frac{1}{p}{a}_n-(-1{)}^{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b_n-(-p{)}^{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$$(2) まず $p\mathrm{\ne }-1$ とする。斉次部分 $a_{n+1}=a_n\mathrm{/}p$ と交代する非斉次項の形から$$a_n=A{p}^{1-n}+B(-1{)}^{n-1}$$とおく。これを漸化式へ代入すると、$(-1{)}^n$ の係数比較から$$-B=-\frac{B}{p}-1,B=\frac{p}{p+1}\mathrm{.}$$また $a_1=1$ より $A+B=1$ だから $A=1\mathrm{/}(p+1)$ である。したがって$$a_n=\frac{p^{1-n}+(-1{)}^{n-1}p}{p+1}(p\mathrm{\ne }-1)\mathrm{.}$$次に $p=-1$ とする。このとき漸化式は$$a_{n+1}=-a_n-(-1{)}^{n+1}$$である。$a_1=1=(-1{)}^2\cdot 1$ であり、$a_n=(-1{)}^{n+1}n$ と仮定すると$$a_{n+1}=-(-1{)}^{n+1}n-(-1{)}^{n+1}=(-1{)}^{n+2}(n+1)\mathrm{.}$$よって帰納法により$$a_n=(-1{)}^{n+1}n(p=-1)\mathrm{.}$$以上をまとめると$$a_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{p^{1-n}+(-1{)}^{n-1}p}{p+1}}& (p\mathrm{\ne }-1),\\ (-1{)}^{n+1}n& (p=-1)\end{array}$$である。