北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

第1式 $$a_{n+2}-s{a}_{n+1}=t(a_{n+1}-s{a}_n)$$ を展開すると $$a_{n+2}-s{a}_{n+1}=t{a}_{n+1}-st{a}_n$$ である。したがって $$a_{n+2}=(s+t)a_{n+1}-st{a}_n$$ を得る。

これが問題で与えられた $a_{n+2}=a_{n+1}+3a_n$ とすべての $n$ について一致するためには $s+t=1,-st=3$ すなわち $s+t=1,st=-3$ であればよい。第2式からも同じ条件が得られる。

よって $s,t$ は2次方程式 $r^2-r-3=0$ の2根である。解の公式より $$r=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$$ であり、$s>t$ だから である。

(2)

(1) で求めた $s,t$ は $s+t=1,st=-3$ を満たす。したがって、数列 $s^{n-1}$ も $t^{n-1}$ も同じ漸化式 $x_{n+2}=x_{n+1}+3x_n$ を満たす。そこで $a_n=A{s}^{n-1}+B{t}^{n-1}$ とおく。

初期条件 $a_1=1$、$a_2=1$ より $A+B=1,As+Bt=1$ である。第1式から $B=1-A$ として第2式へ代入すると $A(s-t)+t=1$ である。ここで $$s-t=\sqrt{13},1-t=s$$ だから $$A=\frac{s}{\sqrt{13}}$$ である。同様に $$B=1-A=\frac{\sqrt{13}-s}{\sqrt{13}}=-\frac{t}{\sqrt{13}}$$ となる。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\frac{s}{\sqrt{13}}{s}^{n-1}-\frac{t}{\sqrt{13}}{t}^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{s^n-t^n}{\sqrt{13}}}\end{array}$$である。したがってである。$n=1,2$ を代入するといずれも1になり、初期条件とも一致する。

(1) は2式を漸化式と比較して $s+t=1,st=-3$ を得る。(2) は問題で与えられた変形そのものを1次漸化式として反復し、係数を別に置かず $a_n$ を直接取り出す。

(1)
第1式を展開すると$$a_{n+2}=(s+t)a_{n+1}-st{a}_n$$である。これが$$a_{n+2}=a_{n+1}+3a_n$$と一致するための条件は$$s+t=1,st=-3$$である。したがって $s,t$ は $r^2-r-3=0$ の2根であり、$s>t$ よりである。

(2)
(1)の関係から$$a_{n+2}-t{a}_{n+1}=s(a_{n+1}-t{a}_n)$$が成り立つ。$u_n=a_{n+1}-t{a}_n$ とおけば$$u_{n+1}=s{u}_n,u_1=a_2-t{a}_1=1-t=s$$だから$$u_n=s^n\mathrm{.}$$同様に $v_n=a_{n+1}-s{a}_n$ とおくと$$v_{n+1}=t{v}_n,v_1=1-s=t$$より$$v_n=t^n\mathrm{.}$$2式を引けば$$(s-t)a_n=u_n-v_n=s^n-t^n\mathrm{.}$$ここで $$s-t=\sqrt{13}$$ だからを得る。