北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) 放物線 $y=x^2$ 上の $x$ 座標 $u$ における接線は$$y=2ux-u^2$$である。この接線が $P(t,t^3-8t^2+15t-56)$ を通る条件は$$u^2-2tu+t^3-8t^2+15t-56=0$$である。

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、$$\frac{D}{4}=t^2-(t^3-8t^2+15t-56)=(8-t)(t^2-t+7)$$である。$0\leqq t<8$ では $8-t>0$ であり、$$t^2-t+7={(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{27}{4}>0$$だから $D>0$ である。よって点 $P$ から放物線へ異なる2本の接線が引ける。

(2) 2つの接点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とする。解と係数の関係より $\alpha +\beta =2t$ であるから、$$\alpha =t-s,\beta =t+s$$と表せる。ただし$$s^2=(8-t)(t^2-t+7)$$である。

左側と右側の接線は、それぞれ $y=2\alpha x-{\alpha }^2$、$y=2\beta x-{\beta }^2$ である。放物線との差は$$x^2-(2\alpha x-{\alpha }^2)=(x-\alpha {)}^2,x^2-(2\beta x-{\beta }^2)=(x-\beta {)}^2$$となる。2接線の交点 $P$ の $x$ 座標は $t$ なので、囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^t(x-\alpha {)}^{2}dx+{\int }_t^{\beta }(x-\beta {)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(t-\alpha {)}^3}{3}+\frac{(\beta -t{)}^3}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2s^3}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S(t)=\frac{2}{3}{\{(8-t)(t^2-t+7)\}}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$接線と面積を取る2区間の位置関係は次の模式図のようになる。