北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

共有点の $x$ 座標は $-x^2+\frac{3}{2}=(x-a{)}^2+a$ を満たす。右辺を展開して左辺へ移すと $$-x^2+\frac{3}{2}=x^2-2ax+a^2+a$$ より $$2x^2-2ax+a^2+a-\frac{3}{2}=0$$ である。したがって、共有点を持つかどうかはこの2次方程式が実数解を持つかどうかで決まる。

判別式を $D$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =(-2a{)}^2-4\cdot 2(a^2+a-\frac{3}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4a^2-8a^2-8a+12}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4(a^2+2a-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4(a+3)(a-1)}\end{array}$$である。問題の条件より $a>0$ であり、このとき $a+3>0$ である。共有点を持たないためには $D<0$ が必要十分なので $-4(a+3)(a-1)<0$ すなわち である。なお $a=1$ では接するので、共有点を持たない条件には含まれない。

(2) $C_1:y=-x^2+3\mathrm{/}2$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=-2x$ である。したがって点 $P_1$ における接線 $l_1$ の傾きは $-2p$ である。

一方、$C_2:y=(x-a{)}^2+a$ の $x=u$ における接線の傾きは $2(u-a)$ である。$l_2$ が $l_1$ と平行であるためには $2(u-a)=-2p$ であればよいから $u=a-p$ である。よって接点 $P_2$ は である。

接線 $l_2$ は、点 $(a-p,p^2+a)$ を通り傾き $-2p$ の直線なので $$y-(p^2+a)=-2p\{x-(a-p)\}$$ である。整理して を得る。

(3)

(1) より、この設問では $a>1$ である。$P_1$ と $P_2$ の座標差は$$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(a-p-p,p^2+a-(-p^2+\frac{3}{2}))=(a-2p,2p^2+a-\frac{3}{2})$$である。接線 $l_1$ の方向ベクトルは $(1,-2p)$ と取れる。したがって $P_1{P}_2$ が $l_1$ と垂直である条件は、内積が0であること、すなわち $$(a-2p)-2p(2p^2+a-\frac{3}{2})=0$$ である。展開すると $a-2p-4p^3-2ap+3p=0$ であり $4p^3+(2a-1)p-a=0$ を得る。

左辺を因数分解すると $$4p^3+(2a-1)p-a=(2p-1)(2p^2+p+a)$$ である。ここで $a>1$ だから、2次方程式 $2p^2+p+a=0$ の判別式は $1-8a<0$ であり、実数解を持たない。よって残る可能性は $2p-1=0$ だけである。したがって である。実際、この値は上で得た垂直条件を満たす。