北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f(x)=x^4-4x^3-8x^2$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =4x^3-12x^2-16x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4x(x^2-3x-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4x(x-4)(x+1)}\end{array}$$である。したがって増減が変わる候補は $$x=-1,x=0,x=4$$ である。

符号を調べると、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は$$(-\mathrm{\infty },-1)\text{で負},(-1,0)\text{で正},(0,4)\text{で負},(4,\mathrm{\infty })\text{で正}$$である。よって $x=-1$ と $x=4$ で極小、$x=0$ で極大をとる。

それぞれの値は $$f(-1)=1+4-8=-3,f(0)=0,f(4)=256-256-128=-128$$ である。したがって であり、極小値は である。

(2)

点 $x=u$ における接線は $y=f^{\mathrm{\prime }}(u)(x-u)+f(u)$ すなわち $$y=f^{\mathrm{\prime }}(u)x+\{f(u)-u{f}^{\mathrm{\prime }}(u)\}$$ である。2点 $x=a,b$ で同じ直線に接するためには、傾きと切片がともに一致する必要がある。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }}(b)$ かつ $$f(a)-a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)=f(b)-b{f}^{\mathrm{\prime }}(b)$$ である。

まず $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-12x^2-16x$ なので、$a\mathrm{\ne }b$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =f^{\mathrm{\prime }}(a)-f^{\mathrm{\prime }}(b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(a-b)\{a^2+ab+b^2-3(a+b)-4\}}\end{array}$$である。よって $a^2+ab+b^2-3(a+b)-4=0$ を得る。

次に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =x^4-4x^3-8x^2-x(4x^3-12x^2-16x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-3x^4+8x^3+8x^2}\end{array}$$である。したがって同様に $a\mathrm{\ne }b$ で割ると $$-3(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)+8(a^2+ab+b^2)+8(a+b)=0$$ である。

ここで $s=a+b,q=ab$ とおくと $a^2+ab+b^2=s^2-q$ であるから、傾き一致の条件は $s^2-q-3s-4=0$ すなわち $q=s^2-3s-4$ である。また $$a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3=s^3-2qs$$ なので、切片一致の条件は $-3s^3+6qs+8s^2-8q+8s=0$ である。ここへ $q=s^2-3s-4$ を代入すると $3s^3-18s^2+8s+32=0$ となる。因数分解して $(s-2)(3s^2-12s-16)=0$ である。 $3s^2-12s-16=0$ のときは、$a,b$ を解にもつ2次方程式の判別式 $s^2-4q=-3s^2+12s+16$ が0になる。実際、$3s^2=12s+16$ だからこの値は0である。これは $a=b$ を意味し、問題の条件 $a<b$ に反する。したがって $s=2$ だけが残る。このとき $q=s^2-3s-4=4-6-4=-6$ である。よって $a,b$ は $u^2-2u-6=0$ の2解であるから、$a<b$ より $$a=1-\sqrt{7},b=1+\sqrt{7}$$ である。

この2点における接線の傾きを求める。$u^2=2u+6$ を満たす点では $$u^3=u(2u+6)=2u^2+6u=10u+12$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(u)}& {\displaystyle =4u^3-12u^2-16u}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(10u+12)-12(2u+6)-16u}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-24}\end{array}$$である。

また、切片は $f(u)-u{f}^{\mathrm{\prime }}(u)=f(u)+24u$ である。例えば $u=1+\sqrt{7}$ を代入してもよいが、上の関係式を使うと $$f(u)-u{f}^{\mathrm{\prime }}(u)=-3u^4+8u^3+8u^2=-36$$ となる。よって求める直線は である。

(1) は導関数の符号を直接整理して極値を確定する。(2) は接線を $y=mx+c$ とおき、$f(x)-(mx+c)$ が異なる2つの重解をもつことから、2次式の完全平方として係数比較する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x(x-4)(x+1)$$である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は、$(-\mathrm{\infty },-1)$ で負、$(-1,0)$ で正、$(0,4)$ で負、$(4,\mathrm{\infty })$ で正となる。よってである。

(2)
求める接線を $y=mx+c$ とする。この直線が $x=a,b(a<b)$ で曲線に接するなら、4次式$$f(x)-(mx+c)$$は異なる2つの重解 $a,b$ をもつ。$s=a+b,q=ab$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-(mx+c)}& {\displaystyle =(x-a{)}^2(x-b{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x^2-sx+q{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^4-2s{x}^3+(s^2+2q)x^2-2sqx+q^2}\end{array}$$である。一方、$$f(x)-(mx+c)=x^4-4x^3-8x^2-mx-c$$だから、係数比較により$$-2s=-4,s^2+2q=-8,-2sq=-m,q^2=-c$$を得る。前2式から $s=2,q=-6$ であり、後2式から$$m=-24,c=-36$$となる。また $a,b$ は$$u^2-2u-6=0$$の2根、すなわち $1-\sqrt{7},1+\sqrt{7}$ で、確かに異なる。したがって求める直線はである。