北海道大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) 双曲線上では$$y=\frac{3}{4x}$$である。これを楕円の式へ代入すると、$$3x^2+{\left(\frac{3}{4x}\right)}^2=3.$$$u=x^2$ とおけば、$$16u^2-16u+3=0$$となるので、$$u=\frac{1}{4},u=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$正負を戻すと、4交点は$$(\frac{1}{2},\frac{3}{2}),(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}),(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})\mathrm{.}$$(2) 第1象限では$$\frac{1}{2}\leqq x\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$$の範囲で、楕円の上側$$y=\sqrt{3-3x^2}$$が双曲線 $y=3\mathrm{/}(4x)$ 以上になる。第3象限にも原点対称な同じ面積の領域があるから、求める面積は$$S=2{\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}(\sqrt{3-3x^2}-\frac{3}{4x})dx\mathrm{.}$$楕円側の積分は$${\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\sqrt{3-3x^2}dx=\sqrt{3}{\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\sqrt{1-x^2}dx\mathrm{.}$$単位円上の2点$$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$$に対応する偏角は $\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}6$ である。2つの直角三角形の面積はいずれも $\sqrt{3}\mathrm{/}8$ で相殺するため、残る部分は中心角 $\pi \mathrm{/}6$ の扇形の面積である。よって$${\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}\mathrm{.}$$したがって$${\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\sqrt{3-3x^2}dx=\frac{\sqrt{3}\pi }{12}\mathrm{.}$$一方、双曲線側は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\frac{3}{4x}dx}& {\displaystyle =\frac{3}{4}\log \frac{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{1\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{4}\log \sqrt{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{8}\log 3.}\end{array}$$以上から、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2(\frac{\sqrt{3}\pi }{12}-\frac{3}{8}\log 3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\frac{3}{4}\log 3.}\end{array}$$楕円、双曲線、面積を求めた2領域の位置関係は次図のようになる。