北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

準備 $OA,OB,OC$ は互いに直交し、長さがすべて1である。そこで $$O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$$ とおく。このとき $$P=(p,0,0),Q=(0,q,0)$$ である。$P,Q$ は辺上の点で、$pq=1\mathrm{/}2>0$ だから $$0<p\leqq 1,0<q\leqq 1$$ である。

(1) $pq=1\mathrm{/}2$ より、相加相乗平均から $$t=p+q\geqq 2\sqrt{pq}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$$ である。等号は $p=q=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときに成り立ち、この値は確かに辺上の条件 $0<p,q\leqq 1$ を満たす。

次に最大値を調べる。$q=1\mathrm{/}(2p)$ と書くと、$q\leqq 1$ より $\frac{1}{2p}\leqq 1$ なので $p\geqq \frac{1}{2}$ である。また $p\leqq 1$ だから $\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1$ である。この範囲で $t=p+\frac{1}{2p}$ とおくと $$\frac{dt}{dp}=1-\frac{1}{2p^2}$$ であり、$p=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で最小となる。したがって最大値は端点で調べればよい。 $$p=\frac{1}{2}\text{ のとき }q=1,p=1\text{ のとき }q=\frac{1}{2}$$ で、どちらも $t=\frac{3}{2}$ である。よって である。

(2) $$\overrightarrow{CP}=(p,0,-1),\overrightarrow{CQ}=(0,q,-1)$$ である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2=p^2+1,\mathrm{\mid }\overrightarrow{CQ}{\mathrm{\mid }}^2=q^2+1,\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CQ}=1$$である。

三角形の面積を $S$ とすると$$S^2=\frac{1}{4}(\mathrm{\mid }\overrightarrow{CP}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{CQ}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CQ}{)}^2)$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4S^2}& {\displaystyle =(p^2+1)(q^2+1)-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p^2{q}^2+p^2+q^2}\end{array}$$である。ここで $pq=\frac{1}{2}$ より $p^2{q}^2=\frac{1}{4}$ であり、また $$p^2+q^2=(p+q{)}^2-2pq=t^2-1$$ である。したがって $$4S^2=t^2-1+\frac{1}{4}=t^2-\frac{3}{4}$$ である。面積は正なので である。

(3)

(2) で得た式 $$S=\frac{1}{2}\sqrt{t^2-\frac{3}{4}}$$ は、今回の範囲 $t>0$ では $t$ が小さいほど小さい。したがって $S$ は (1) の範囲で最小の $t=\sqrt{2}$ のとき最小となる。

相加相乗平均の等号条件より、このとき $p=q$ であり、$pq=1\mathrm{/}2$ と合わせて $p=q=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。このとき$$S_{\min }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{4}}=\mathrm{<mfrac><msqrt><mn\; mathvariant="bold">5</mn></msqrt><mn\; mathvariant="bold">4</mn></mfrac>}$$である。よって のとき最小値 $\sqrt{5}\mathrm{/}4$ をとる。