北海道大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
まず $h(x)=e^x-1-x$ とおく。$x\leqq 0$ では $h^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1\leqq 0$ である。$h(0)=0$ であり、$h$ は $(-\mathrm{\infty },0]$ で減少しながら0に至るので、$x\leqq 0$ で $h(x)\geqq 0$ である。したがって $1+x\leqq e^x$ である。

次に $$k(x)=1+x+\frac{x^2}{2}-e^x$$ とおく。すると $$k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-e^x\geqq 0(x\leqq 0)$$ である。よって $k^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $(-\mathrm{\infty },0]$ で増加し、$k^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ だから $x\leqq 0$ で $k^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$ である。さらに $k(0)=0$ なので、$x\leqq 0$ で $k(x)\geqq 0$ である。したがって $e^x\leqq 1+x+\frac{x^2}{2}$ である。

以上より $$1+x\leqq e^x\leqq 1+x+\frac{x^2}{2}(x\leqq 0)$$ が示された。

(2) $a^{{10}^n}=1\mathrm{/}2$ で $a>0$ だから、両辺の自然対数を取ると ${10}^n\log a=-\log 2$ である。したがって $\log a=-(\log 2){10}^{-n}$ である。 $0.69<\log 2<0.70$ より、負号を付けると不等号の向きが反転して $-0.70<-\log 2<-0.69$ である。よって $$-0.70\times {10}^{-n}<\log a<-0.69\times {10}^{-n}$$ である。指数関数は増加関数なので $$e^{-0.70\times {10}^{-n}}<a<e^{-0.69\times {10}^{-n}}$$ を得る。

(3) $h={10}^{-n}$ とおく。$n$ は自然数なので $0<h\leqq 1\mathrm{/}10$ である。

(2) より$$e^{-0.70h}<a<e^{-0.69h}$$である。(1)の左側の不等式を $x=-0.70h$ に用いると $e^{-0.70h}\geqq 1-0.70h$ であり、実際には $h>0$ なので $e^{-0.70h}>1-0.70h$ である。したがって $a>1-0.70h$ である。

また、(1)の右側の不等式を $x=-0.69h$ に用いると $e^{-0.69h}\leqq 1-0.69h+\frac{(0.69{)}^2}{2}{h}^2$ である。ここで $h\leqq 1\mathrm{/}10$ より $$\frac{(0.69{)}^2}{2}{h}^2<0.09h$$ であるから $e^{-0.69h}<1-0.60h$ である。したがって $a<1-0.60h$ である。

以上より$$1-0.70\times {10}^{-n}<a<1-0.60\times {10}^{-n}$$である。ここで$$1-0.70\times {10}^{-n}=1-7\times {10}^{-(n+1)}=0.\underset{n\text{個}}{\underbrace{99\cdots 9}}3$$であり、$$1-0.60\times {10}^{-n}=1-6\times {10}^{-(n+1)}=0.\underset{n\text{個}}{\underbrace{99\cdots 9}}4$$である。したがって $$0.9\cdots 93<a<0.9\cdots 94$$ が示された。