北海道大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

$x=0$ では両辺とも0である。$x\mathrm{\ne }0$ とし、$u=x^2>0$ とおくと、条件は$$c\geqq \frac{\log (1+u)}{u}$$と同値である。$$h(u)=\frac{\log (1+u)}{u}$$とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{{\displaystyle \frac{u}{1+u}}-\log (1+u)}{u^2}\mathrm{.}$$さらに$$\psi (u)=\log (1+u)-\frac{u}{1+u}$$とおけば$${\psi }^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{u}{(1+u{)}^2}>0,\psi (0)=0.$$よって $u>0$ で $h^{\mathrm{\prime }}(u)<0$ である。また$$\underset{u\to 0+}{\lim }\frac{\log (1+u)}{u}=1$$なので、$h(u)$ の上限は1である。したがって$$c\geqq 1$$である。

(2)

$c\geqq 1$ では放物線が上側にある。面積を $S$ とすると$$S=2{\int }_0^1\{c{x}^2-\log (1+x^2)\}dx\mathrm{.}$$部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\log (1+x^2)dx}& {\displaystyle ={[x\log (1+x^2)]}_0^1-{\int }_0^1\frac{2x^2}{1+x^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log 2-2+2{\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\mathrm{.}}\end{array}$$最後の積分で $x=\tan \theta$ とおくと$${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}d\theta =\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$したがって$$S=\frac{2c}{3}-2\log 2+4-\pi \mathrm{.}$$$S=4$ より$$c=\frac{3\pi }{2}+3\log 2.$$

$c=1$ の境界例。$c\geqq 1$ では放物線が常に上側にある。

対数を積分で表し、$1\mathrm{/}(1+s)\leqq 1$ から不等式を直接示す。$u\to 0+$ での挟み撃ちにより $c\geqq 1$ の必要性も確認し、面積は三角置換で最後まで計算する。

(1)

$u=x^2\geqq 0$ とおく。$u>0$ では$$\log (1+u)={\int }_0^u\frac{ds}{1+s}\leqq {\int }_0^{u}1ds=u\mathrm{.}$$よって $c\geqq 1$ なら$$c{x}^2=cu\geqq u\geqq \log (1+u)$$となり、条件は十分である。

一方、$$\frac{1}{1+u}\leqq \frac{1}{u}{\int }_0^u\frac{ds}{1+s}\leqq 1$$より、挟み撃ちによって$$\underset{u\to 0+}{\lim }\frac{\log (1+u)}{u}=1.$$したがって $c<1$ では十分小さい正の $u$ に対して不等式が破れる。よって必要十分条件は$$c\geqq 1$$である。

(2)

偶関数性と(1)から$$S=2{\int }_0^1\{c{x}^2-\log (1+x^2)\}dx\mathrm{.}$$部分積分と $x=\tan \theta$ により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\log (1+x^2)dx}& {\displaystyle =\log 2-2+2{\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log 2-2+\frac{\pi }{2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$4=S=\frac{2c}{3}-2\log 2+4-\pi$$であり、$$c=\frac{3\pi }{2}+3\log 2$$を得る。