北海道大学 2004年度 後期日程理系（後期）数学 第1問

方程式を $\sin x=e^{x\mathrm{/}n}-1$ と書く。右辺は $x\geqq 0$ で単調増加し、かつ非負である。$\sin x\leqq 1$ なので、解が存在するには $e^{x\mathrm{/}n}-1\leqq 1$ が必要である。したがって $x\leqq n\log 2$ である。また右辺は非負だから、解は $\sin x\geqq 0$ となる範囲に限られる。 $\sin x\geqq 0$ となる半周期は $$I_k=[2k\pi ,(2k+1)\pi ](k=0,1,2,\dots )$$ である。各 $I_k$ で $$f_n(x)=\sin x-(e^{x\mathrm{/}n}-1)$$ とおくと、$$f_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{e}^{x\mathrm{/}n}<0$$ である。したがって $f_n(x)$ は各 $I_k$ で上に凸ではなく、グラフは下向きに曲がる。このため、各 $I_k$ における零点は高々2個である。

一方、$I_k$ の中央 $$x=2k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ で$$f_n(2k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=1-(e^{(2k\pi +\pi \mathrm{/}2)\mathrm{/}n}-1)=2-e^{(2k\pi +\pi \mathrm{/}2)\mathrm{/}n}$$である。したがって $$2k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<n\log 2$$ なら、この中央で $f_n>0$ となる。区間の両端では $\sin x=0$ であり、右辺は非負なので $f_n\leqq 0$ である。よってこのような半周期は2個の解を与える。ただし $k=0$ では左端 $x=0$ も解であり、それを含めて2個と数える。

ここで、中央が $n\log 2$ より左にある半周期の個数を $L_n$、左端が $n\log 2$ 以下にある半周期の個数を $U_n$ とする。上の議論から $2L_n\leqq P_n\leqq 2U_n$ である。これらの個数は長さ $2\pi$ ごとに1つ現れるので、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{L_n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{U_n}{n}}={\displaystyle \frac{\log 2}{2\pi }}$$である。したがって、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{P_n}{n}}=2\cdot {\displaystyle \frac{\log 2}{2\pi }}={\displaystyle \frac{\log 2}{\pi }}$$である。