北海道大学 2005年度 前期日程理系数学 第1問

(1) $u=e^a$ とおくと、$u>0$ である。方程式は $u^2-2u-1=0$ となるので、$u=1\pm \sqrt{2}$ である。ここで $1-\sqrt{2}<0$ であり、$u>0$ に反する。したがって $u=1+\sqrt{2}$ であり、$a=\log (1+\sqrt{2})$ である。

(2) $t$ を固定した定数として扱う。分母を $x$ で微分すると $${\displaystyle \frac{d}{dx}}(e^x+e^{2t})=e^x$$ であるから、$$\int {\displaystyle \frac{e^x}{e^x+e^{2t}}}dx=\log (e^x+e^{2t})$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(t)}& {\displaystyle ={\int }_0^t{\displaystyle \frac{e^x}{e^x+e^{2t}}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\log (e^x+e^{2t})]}_0^t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log (e^t+e^{2t})-\log (1+e^{2t})}\end{array}$$である。よって $$F(t)=\log {\displaystyle \frac{e^t+e^{2t}}{1+e^{2t}}}$$ である。

(3) $s=e^t$ とおく。$t\geqq 0$ より $s\geqq 1$ であり、(2)の結果は $$F(t)=\log {\displaystyle \frac{s+s^2}{1+s^2}}=\log {\displaystyle \frac{s(1+s)}{1+s^2}}$$ となる。対数関数は単調増加であるから $$g(s)={\displaystyle \frac{s(1+s)}{1+s^2}}(s\geqq 1)$$ の最大値を調べればよい。 $g(s)>0$ なので、$g^{\mathrm{\prime }}(s)$ の符号は $(\log g(s){)}^{\mathrm{\prime }}$ の符号と同じである。ここで $$(\log g(s){)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{1}{1+s}}-{\displaystyle \frac{2s}{1+s^2}}$$ である。分母を払うと、符号を決める分子は $$(1+s)(1+s^2)+s(1+s^2)-2s^2(1+s)=1+2s-s^2$$ である。したがって停留点は $1+2s-s^2=0$ すなわち $s^2-2s-1=0$ を満たす。$s\geqq 1$ より $s=1+\sqrt{2}$ である。 $1+2s-s^2$ は $1\leqq s<1+\sqrt{2}$ で正、$s>1+\sqrt{2}$ で負であるから、$g(s)$ は $s=1+\sqrt{2}$ で最大となる。したがって最大値を与える $t$ は $t=\log (1+\sqrt{2})$ である。

このとき $s^2=2s+1$ であるから$$g(s)={\displaystyle \frac{s(1+s)}{1+s^2}}={\displaystyle \frac{s(1+s)}{2s+2}}={\displaystyle \frac{s}{2}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$$である。ゆえに $F(t)$ の最大値は $\log {\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$ である。

端点と無限遠の確認$$F(0)=0,\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=0$$であり、内部点で得た最大値は正である。したがって増減判定と端の挙動が整合する。

積分で得た対数の中身を、微分せず平方の因数分解で評価する。上界との差が非負の定数倍の平方になることを示し、等号条件から最大点を決める。

(1)

$u=e^a>0$ とおくと $u^2-2u-1=0$ である。正の解だけを採用して$$a=\log (1+\sqrt{2})$$を得る。

(2)

$t$ を定数として積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(t)}& {\displaystyle ={[\log (e^x+e^{2t})]}_0^t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log {\displaystyle \frac{e^t+e^{2t}}{1+e^{2t}}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

$s=e^t\geqq 1$ とおくと、対数の中身は$$g(s)={\displaystyle \frac{s(1+s)}{1+s^2}}$$である。ここで$$M={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M(1+s^2)-s(1+s)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}}{(s-(1+\sqrt{2}))}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 0.}\end{array}$$したがって $g(s)\leqq M$ であり、等号は $s=1+\sqrt{2}$ のときに限る。よって最大値を与える値と最大値は$$t=\log (1+\sqrt{2}),\max F(t)=\log {\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$$である。