北海道大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
$\log (ax)=0$ となるのは $x=1\mathrm{/}a$ である。この点と積分区間
$[1,e]$ の位置関係で場合分けする。

(i) $1\leqq a$ のとき

$1\mathrm{/}a\leqq 1$ なので、区間全体で $\log (ax)\geqq 0$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(a)}& {\displaystyle ={\int }_1^e\{\log a+\log x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(e-1)\log a+{[x\log x-x]}_1^e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(e-1)\log a+1.}\end{array}$$(ii) $0<a\leqq 1\mathrm{/}e$ のとき

$1\mathrm{/}a\geqq e$ なので、区間全体で $\log (ax)\leqq 0$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(a)}& {\displaystyle =-{\int }_1^e\{\log a+\log x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(e-1)\log a-1.}\end{array}$$(iii) $1\mathrm{/}e<a<1$ のとき

$1<1\mathrm{/}a<e$ であり、$x=1\mathrm{/}a$ で符号が変わる。したがって$$I(a)=-{\int }_1^{1\mathrm{/}a}\{\log a+\log x\}dx+{\int }_{1\mathrm{/}a}^e\{\log a+\log x\}dx\mathrm{.}$$ここで$${\int }_1^{1\mathrm{/}a}\{\log a+\log x\}dx={[x\log (ax)-x]}_1^{1\mathrm{/}a}=1-\log a-\frac{1}{a}$$であるから$$I(a)=(e+1)\log a-1+\frac{2}{a}\mathrm{.}$$以上をまとめると$$I(a)=\{\begin{array}{ll}-(e-1)\log a-1& (0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{e}}),\\ (e+1)\log a-1+{\displaystyle \frac{2}{a}}& ({\displaystyle \frac{1}{e}}<a<1),\\ (e-1)\log a+1& (1\leqq a)\end{array}$$である。隣り合う式は $a=1\mathrm{/}e,1$ で同じ値になる。

(2)
外側の2区間では、それぞれ $a$ とともに減少、増加する。中央の区間では$$I^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{e+1}{a}-\frac{2}{a^2}=\frac{(e+1)a-2}{a^2}\mathrm{.}$$したがって$$a=\frac{2}{e+1}$$の前で減少し、後で増加する。この値は $1\mathrm{/}e<2\mathrm{/}(e+1)<1$ を満たすので、
全体の最小点である。最小値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I\left(\frac{2}{e+1}\right)}& {\displaystyle =(e+1)\log \frac{2}{e+1}-1+(e+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e+(e+1)\log \frac{2}{e+1}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\min I(a)=e+(e+1)\log \frac{2}{e+1},a=\frac{2}{e+1}$$である。

$1\mathrm{/}e<a<1$ では $x=1\mathrm{/}a$ を境に符号が変わるため、絶対値付き
積分を2区間へ分ける。

$c=-\log a$ とおくと $I(a)={\int }_1^e\mathrm{\mid }\log x-c\mathrm{\mid }dx$ である。$0<c<1$ では符号の切替点が $x=e^c$ なので、切替点の左右に分けた式を $c$ で微分する。左右の区間長が等しくなる点 $e^c=(e+1)\mathrm{/}2$ が最小点になる。

(1)
$c=-\log a$ とおくと$$I(a)={\int }_1^e\mathrm{\mid }\log x-c\mathrm{\mid }dx\mathrm{.}$$$c\leqq 0$、$0<c<1$、$1\leqq c$ は、それぞれ
$1\leqq a$、$1\mathrm{/}e<a<1$、$0<a\leqq 1\mathrm{/}e$ に対応する。
各範囲で絶対値を外すと$$I(a)=\{\begin{array}{ll}-(e-1)\log a-1& (0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{e}}),\\ (e+1)\log a-1+{\displaystyle \frac{2}{a}}& ({\displaystyle \frac{1}{e}}<a<1),\\ (e-1)\log a+1& (1\leqq a)\end{array}$$を得る。

(2)
$0<c<1$ のとき、符号の切替点は $x=e^c$ であるから$$J(c)={\int }_1^{e^c}(c-\log x)dx+{\int }_{e^c}^e(\log x-c)dx$$とおく。端点 $x=e^c$ では両被積分関数が0なので、微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J^{\mathrm{\prime }}(c)}& {\displaystyle =(e^c-1)-(e-e^c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2e^c-e-1.}\end{array}$$したがって $J^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ となるのは$$e^c=\frac{e+1}{2}$$のときであり、その前で $J^{\mathrm{\prime }}(c)<0$、後で $J^{\mathrm{\prime }}(c)>0$ である。
よってここで最小となる。$$c=\log \frac{e+1}{2},a=e^{-c}=\frac{2}{e+1}\mathrm{.}$$このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \min I(a)}& {\displaystyle =e-(e+1)c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e-(e+1)\log \frac{e+1}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e+(e+1)\log \frac{2}{e+1}\mathrm{.}}\end{array}$$外側の $c\leqq 0$、$c\geqq 1$ では $J(c)$ は区間
$[0,1]$ に近づく向きに単調減少するため、別の最小点はない。