北海道大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 両辺の差を$$\varphi (t)=b{t}^{b+c}+c-(b+c)t^b$$とおく。微分すると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle =b(b+c)t^{b+c-1}-b(b+c)t^{b-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b(b+c)t^{b-1}(t^c-1)\mathrm{.}}\end{array}$$$t>0$ では $b(b+c)t^{b-1}>0$ である。したがって ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ は $0<t<1$ で負、$t>1$ で正となる。よって $\varphi (t)$ は $t=1$ で最小となり、$$\varphi (1)=0.$$以上から$$b{t}^{b+c}+c\geqq (b+c)t^b$$が成り立つ。等号は $t=1$ のときである。

(2) まず(1)を正の2数 $U,V$ に使える形へ直す。$$\frac{U}{V}=t^{b+c}$$となる正の $t$ を取り、(1)に $V$ を掛けると、$$\begin{array}{cccc}& bU+cV\geqq (b+c)U^{\frac{b}{b+c}}{V}^{\frac{c}{b+c}}\mathrm{.}& & \text{(*)}\end{array}$$$(\ast )$ に $U=y^{a+b+c}$、$V=1$ を代入して、$$\begin{array}{cccc}& b{y}^{a+b+c}+c\geqq (b+c)y^{\frac{b(a+b+c)}{b+c}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$次に、重みを $a$ と $b+c$ に替えた $(\ast )$ を、$$U=x^{a+b+c},V=y^{\frac{b(a+b+c)}{b+c}}$$へ適用する。すると、$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle a{x}^{a+b+c}+(b+c)y^{\frac{b(a+b+c)}{b+c}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq (a+b+c){\left(x^{a+b+c}\right)}^{\frac{a}{a+b+c}}{\left(y^{\frac{b(a+b+c)}{b+c}}\right)}^{\frac{b+c}{a+b+c}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a+b+c)x^a{y}^b\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$(1)、(2)を合わせて、$$a{x}^{a+b+c}+b{y}^{a+b+c}+c\geqq (a+b+c)x^a{y}^b$$を得る。

(1) の等号には $y^{a+b+c}=1$、(2)の等号には$$x^{a+b+c}=y^{\frac{b(a+b+c)}{b+c}}$$が必要である。$x,y>0$ なので、両方が同時に成立する条件は$$x=y=1$$である。