北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

同色の2個を引いたときは、その2個を戻してから白玉1個を追加するので、赤玉数は変わらない。色違いの2個を引いたときは、取り出した2個の代わりに赤玉2個を入れ、最後に白玉1個を追加するので、赤玉数は1個増える。

(1)

初めは赤2個、白2個である。$X_1=3$ となるのは、1回目に色違いの2個を引くときである。その確率は $$\frac{2\cdot 2}{{}_4{\mathrm{C}}_2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$ である。したがって $P(X_1=3)=\frac{2}{3}$ である。

(2)

1回目後の状態を分ける。同色を引く確率は$$\frac{{}_2{\mathrm{C}}_2+{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_4{\mathrm{C}}_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$であり、このとき状態は赤2個、白3個である。色違いを引く確率は $2\mathrm{/}3$ であり、このとき状態は赤3個、白2個である。

状態が赤2個、白3個のとき、2回目後に赤が3個となるには色違いを引けばよい。その確率は $$\frac{2\cdot 3}{{}_5{\mathrm{C}}_2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$ である。

状態が赤3個、白2個のとき、2回目後も赤が3個であるには同色を引けばよい。その確率は$$\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2+{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_5{\mathrm{C}}_2}=\frac{3+1}{10}=\frac{2}{5}$$である。したがって全確率より$$P(X_2=3)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}+\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=\frac{7}{15}$$である。

(3)

$X_1=3$ かつ $X_2=3$ となるのは、1回目に色違いを引き、2回目は赤3個・白2個の状態から同色を引く場合である。よって $$P(X_1=3,X_2=3)=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$$ である。したがって$$P(X_1=3\mid X_2=3)=\frac{P(X_1=3,X_2=3)}{P(X_2=3)}=\frac{4\mathrm{/}15}{7\mathrm{/}15}=\frac{4}{7}$$である。

1回の抽出が同色である事象を $S$、異色である事象を $D$ とする。(1) は $D$ の確率、(2) は $X_2=3$ を互いに排反な $(S,D)$ と $(D,S)$ に分ける。(3) はそのうち $(D,S)$ の重みを $P(X_2=3)$ で割る。

同色を引く事象を $S$、異色を引く事象を $D$ とする。$S$ では赤玉数は変わらず、$D$ では赤玉数が1個増える。

(1) 初期状態は赤2個・白2個だから$$P(D)=\frac{2\cdot 2}{{}_4{\mathrm{C}}_2}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$したがって $P(X_1=3)=2\mathrm{/}3$ である。

(2) 1回目が $S$ なら状態は赤2個・白3個であり、2回目に $D$ が起これば $X_2=3$ となる。この確率は$$P(S,D)=\frac{1}{3}\cdot \frac{2\cdot 3}{{}_5{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{1}{5}\mathrm{.}$$1回目が $D$ なら状態は赤3個・白2個であり、2回目に $S$ が起これば $X_2=3$ となる。この確率は$$P(D,S)=\frac{2}{3}\cdot \frac{{}_3{\mathrm{C}}_2+{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_5{\mathrm{C}}_2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{15}\mathrm{.}$$両事象は排反だから$$P(X_2=3)=\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=\frac{7}{15}\mathrm{.}$$(3) $X_1=3$ かつ $X_2=3$ は事象 $(D,S)$ である。よって$$P(X_1=3\mid X_2=3)=\frac{P(D,S)}{P(X_2=3)}=\frac{4\mathrm{/}15}{7\mathrm{/}15}=\frac{4}{7}\mathrm{.}$$